高中数学：1-2空间向量基本定理教学设计.docx

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教学设计

课程基本信息

学科

高中数学

年级

高二

学期

秋季

课题

1.2空间向量基本定理

教科书

书名：普通高中数学教材

出版社：人民教育出版社出版日期：2020年5月

教学内容分析

空间向量基本定理也称为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了一“项”.证明的思路、步骤也基本相同．空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备．

本节内容是在学习空间向量的概念、运算之后的又一重要内容，揭示出空间任何一个向量都可以用三个不共面的向量唯一表示，因此空间中三个不共面的向量就构成了三维空间的一个“基底”，可以使学生更好地掌握用空间向量解决立体几何问题的基本方法——“基底法”，为后续学习空间向量及其运算的坐标表示奠定坚实基础．

空间向量基本定理中蕴含着丰富的数学思想，如转化思想、数形结合思想．本节课的学习过程，能很好地体现数学思考问题的方法：以简驭繁，有助于培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学学科核心素养．

教学目标分析

1．目标

（1）了解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解．

（2）会用空间三个不共面向量作为基底表示空间中任意向量．

2．目标解析

达成上述目标的标志是：

（1）经历空间向量基本定理的探索过程，体会由平面向量基本定理推广得到空间向量基本定理，由正交分解得到一般分解，感悟类比、由特殊到一般的数学思想；通过对空间向量基本定理的分析，体会定理的重要性及其意义，增强对数学思想方法的理解．

（2）通过选择基底表示空间中的向量，为后面学习利用空间向量解决立体几何问题奠定基础．

学生学情分析（含教学重难点分析）

学生已经学习了平面向量基本定理，以及空间向量的概念、运算，对于向量的分解、基底、不共面等概念有所了解，所以对于空间向量基本定理的学习并不困难．但是由正交分解推广到一般分解，对于学生而言存在一定的难度，将空间中的向量用一组基底表示，对转化思想和数学运算有较高的要求，学生在处理过程中会存在一定的困难．因此，

教学难点：空间向量基本定理的证明和简单应用．

教学重点：掌握空间向量基本定理

教学方法和策略分析

引导学生积极参与定理的探索过程，引导学生通过类比、思考、归纳、交流等数学活动．经历从特殊到一般的思维过程．

教学手段

1、学法：学生在老师的引导下，通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而完成本节课的教学目标.

2、教学用具：多媒体设备等

教学过程

环节一：复习回顾、提出问题

问题1：我们已经学习过平面向量基本定理，那么平面向量基本定理的内容是什么呢？

师生活动：学生独立思考、复习平面向量基本定理的内容．

追问：由平面向量基本定理知道，平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量表示．类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量来表示呢？

师生活动：学生充分思考，教师启发由三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论．

【设计意图】：引入一个新的数学对象后，关键在于引导学生思考“如何研究一个数学对象”，这种思考有助学生学会研究数学对象，学会发现问题和提出问题．这里采用的“类比”就是一种重要的数学思想方法，通过类比平面向量基本定理，提出要研究的问题．

2.环节二：探究新知

问题2：如图，设是空间中三个两两垂直的向量，且表示他们的有向线段有公共起点，对于任意一个空间向量，能否用表示呢？

师生活动：教师引导，分析，得出结论．

设为在确定的平面上的投影向量，则，又向量，k共线，因此存在唯一实数，使得，从而．而在所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对，使得．从而，

因此，如果是空间三个两两垂直的向量，那么对于任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组，使得．我们称分别为向量在上的分向量．

【设计意图】：让学生思考、分析，探究空间中向量的关系．

追问：对于上面的分解，你能证明唯一性吗？

师生活动：学生思考，教师引导：

假设这种表示不唯一，即还可以表示成，那么．由向量不共面可以得到．

在教师引导下，学生尝试证明．

【设计意图】：让学生体会到空间中任意一个向量能用不共面的三个向量唯一表示．

问题3：在空间中，如果用任意三个不共面的向量代替两两垂直的向量，你能得到类似的结论吗？

师生活动：学生思考、对比、探究，教师指导，师生共同得到空间向量基本定理．

分析：过点作，过点作直线，

交平面于点，在平面内，过点作直线，

分别与直线相交于点．于是存在三个实数,使

所以容易证明这种表示形式是唯一的．

空间向量基本定理如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组