(完整word版)数学建模：道路优化问题).doc

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目录

一、问题的提出——————————————————————2

二、问题分析——————————————————————--2

三、基本假设——————————————————————--3

四、符号说明——————————————————————--3

五、模型的建立与求解——————————————————--4

六、模型的评价——————————————————————8

七、参考文献———————————————————————9

摘要

本题利用方程（组）模型，求两只路灯连线的路面上的最暗点。通过查阅资料可知光照强度公式为，由原题坐标图，通过实际情况假设部分数据，列出方程，利用MATLAB软件进行求解，求出最小光照强度点X的位置，并计算出如何通过调整路灯高度来极大化X点的光照强度，并制定出合理的优化方案。

关键字：路灯照明方程（组）MATLAB程序最值

问题的提出

1.1引言

随着城市化水平的不断提高，城市街道越来越多，街道上的路灯数量也会大量增加，如何合理安放路灯便成为一个重要问题。在能源日益紧张的今天，更需要一种能够尽可能节约能源的路灯安置方案。

1.2问题的提出

为了更好地优化路灯的照明能力，本文依次提出以下问题：

=1\*GB2⑴.建立数学模型找出具有最小照明强度的点（即最暗点）；

=2\*GB2⑵.通过改变第二盏灯的高度以极大化点的照明强度；

=3\*GB2⑶.如何调整两盏灯的高度来优化道路照明。

1.3问题研究的意义：

通过对路灯问题的研究，找到一种安置方案，优化现有路灯布局，使路灯能耗降低，以节省经济投入。

问题分析

问题一：

问题要求找出两路灯之间具有最小照度的点X，但题中没有具体说明如路灯瓦数、路灯高度和路灯光照范围等数据，因此需要我们自己根据资料自己假设，算出合理的X点的位置。

问题二：

问题要求我们通过改变一端路灯的高度来尽量增强由问题一求出的最小光照强度的点（即最暗点）的光照强度，虽然题目同样没有进行数据的限制，但是作为一个实际问题，我们应该通过查找资料来确定一个符合实际情况的路灯高度的大致范围，再通过MATLAB程序算出数据，然后根据范围选出路灯高度。

问题三：

本问题为本文最后一题，也是本文的中心问题，而要使在路灯功率一定的情况下能耗最小，只能减少路灯的使用量。因此，在满足最低照明功率的前提下，通过改变路灯的高度来使路灯之间的距离达到最优是本问题的一个解决方案，而通过前两题计算的铺垫，我们应该已经具备解决此问题的能力，所以我们可以同样通过MATLAB算出数据，并且根据实际情况选出合理的路灯高度得出最后的结果。

三、基本假设

1.假设路灯的光照强度（k为照度系数，可取1；P为路灯功率）；2.假设两路灯在路上的照射半径长度之和为20m；

3.假设路灯为同一型号；

4.假设把两个路灯视为质点；

5.假设忽略对路灯光照强度其他因素的影响；

6.假设路灯正常工作；

7.假设把两只路灯连线的路面视为一条直线；

8.假设p=2kw，p=3kw，h=5m，h=6m

四、符号的说明

P：路灯功率

h：路灯到地面的距离

r：路灯到最暗点的距离

：路灯到最暗点的连线与地面的夹角

X：最暗点

I：光照强度

K：照度系数

S：路灯之间的间距

五、模型的建立与求解：

下图为根据问题所简化的坐标图：

5.1问题一的建模与求解：

r=h+xsin=

r=h+xsin=

思路：题目要求出最暗点X，即为求函数I(x)的最小值，所以应先求出函数的极值点

I(x)=+=+

利用MATLAB程序求得I(x)=0时x的值

代码：

s=solve((-30*x)/((25+x^2)^(5/2))+(54*(20-x))/((36+(20-x)^2)^(5/2)))

s1=vpa(s,8);

s1；

运行结果

s1=

19

9.338299136

8.538304309-11i

0.2848997038e-1

8.538304309+11i

因为小=0，选取出有效的x值后，利用MATLAB求出对应的I(x)的值，如下表：

x

0

0.028489970

9.3382991

19.976695

20

I(x)

0

0

000结论：综上，x=9.33m时，为最暗点。

5.2：问题二的建模与求解：

I(x，h)=+=+

思路：与问题一同理，求出函数（x，h）X为极值时h的值即为结果。

=-=0

利用MATLAB程序求得x：

=+=+=0

利用M