高中数学：3-2-1单调性与最大小值教学设计.docx

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《单调性与最大（小）值》教学设计（第2课时）

安仁县第三中学阳柯欣

内容和内容解析

内容

函数最大（小）值.

内容解析

本节课选自人民教育出版社高中数学A版必修第一册第三章第二节《3.2函数的基本性质》.《普通高中数学课程标准》（2017年版2020年修订）对本节内容的具体要求是能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质；借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义.能够对简单的实际问题，选择适当的函数构建数学模型，解决问题.

函数的最大（小）值是函数的基本性质之一，它刻画了函数值变化的极端情况，是变化中的不变性.在现实世界的运动变化中，寻求最佳时机、最优方案等是常见的实际需求，而研究函数的最大（小）值为刻画这种变化规律提供了方法.从函数的性质来说，函数的最大（小）值与单调性联系紧密，函数的单调性是函数在定义域的某个子集上具有的局部性质，最大（小）值是函数在整个定义域上的整体性质.明确函数在区间上的增减情况才能确定最大（小）值.另外，函数的值域也与函数的最大（小）值有关系.因此，函数的最大（小）值在数学内外都有重要的应用.

通过引入数学符号，进一步将“图象的最高（低）点”转化为精确的定量关系，从而使定性刻画上升到定量刻画，实现了变化规律的精确化表达.这样一种由具体到抽象、由图形和自然语言到符号语言表达，从形象直观到定性刻画再到抽象语言刻画的研究过程，体现了数学概念逐渐抽象、严格化的研究思路，既培养了学生的数学抽象和逻辑推理素养，又对其他概念的学习具有借鉴意义.在利用函数定义、单调性求最大（小）值的过程中，发展学生的数学运算素养.

基于以上分析，确定教学重点：函数最大（小）值的定义的符号语言刻画及应用.

目标和目标解析

目标

（1）借助函数图象，体会变量变化时的规律性与不变性，会用符号语言表达函数的最大值、最小值；

（2）会利用函数最大（小）值的定义及单调性求函数的最大值、最小值；

（3）会根据问题情境，理解函数最大（小）值的作用和实际意义，体验数学建模过程.

目标解析

达成上述目标的标志是：

（1）学生经历从图象直观到文字语言描述，再到符号语言刻画的过程，知道用符号语言刻画函数最大（小）值时，“任意”“存在”等关键词的含义.感悟通过引入“?”“?”“≤”“≥”的符号表示，把一个含有“无限”的问题符号化的方法，感受数学符号语言的魅力；

（2）学生从具体例子能够利用函数最大（小）值的定义及单调性，按一定的步骤求出函数的最大（小）值；

（3）学生能从实际问题中抽象出函数最大（小）值，并说出其实际意义，体验从实际问题到数学问题，再回到实际问题的数学建模过程.

学生学情分析

学生在初中阶段已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数和二次函数，重点研究了二次函数的最大（小）值，通过观察函数的图象，发现开口向下的抛物线有最高点，开口向上的抛物线有最低点，在抛物线的对称轴处取到函数的最大（小）值，学生经历了从图象直观到结论记忆的过程；在生活中，学生积累了部分求最短路径、最多收益、最大高度等与最值相关的经验.

在高中阶段，要求用符号语言对一般函数的最值给出定义.学生对自然语言和图形语言的描述是熟悉的，通过前面函数概念与单调性的学习，学生已经具备一定的“抽象”能力，也掌握了一些符号语言的使用方法.对于一般函数的最值定义的描述，学生能够从自然语言和图形语言来刻画，用符号语言描述定义可能不完整，导致充分性和必要性缺失.

根据以上分析，确定教学难点是：符号语言的引入，对函数最大（小）值“存在性”和“任意性”的理解.

教学策略分析

教学中，利用熟悉的二次函数，借助一定的教学媒体，如用信息技术展示函数的图象，引导学生数形结合地归纳最大（小）值的本质特征，结合自然语言和图形语言，用数学符号描述本质特征，逐步抽象出函数最大（小）值的定义，再通过辨析、举例，对函数最大（小）值的内涵和外延深入理解.最后通过例题，研究最值与单调性的关系，再用数学方法解决实际问题.

本节课的教学基于学生已有的知识和生活经验，通过具体的例子，采用“问题导学法”，设置一系列问题串，依托“是什么？”“为什么？”“怎么样？”的逻辑思维方法，研究有关最值的具体内容，例如“什么是最值？”“最值有几个？”“如何求最值？”“最值与单调性有什么关系？”等等.给学生设置一条从定性到定量、从粗糙到精确的归纳过程，引导学生逐步抽象出函数最值的概念.在此过程中，给学生表达的机会，同时给予鼓励，让学生获得成就感，提高学习兴趣.

通过对定义中的关键词分析，从“存在性”和“任意性”两个方面深化概念的理解.为使学生更好地理解最大（小）值的符号化定义，可利用信息