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7-4相轨迹
一、相轨迹的概念
设二阶系统可以用下列常微分方程描述
或
式中一般是和的非线性函数。该系统的时域解,可以用与的关系曲线来表示。也可把时间作为参变量,用与之间的关系曲线来表示。下面以线性二阶系统为例加以说明。
设线性二阶系统如图7-34(a)所示,其单位阶跃响应及其导数如图7-34(b)所示。即可把系统的阶跃响应用图7-34(c)所示的与之间的关系曲线来描述,由图可见,曲线同样很直观地表示了系统的运动特性。从某种意义上来说,甚至比曲线更形象,可获得更多的信息。
显然,如果把方程看作是一个质点运动方程,用表示质点的位置,那么就表示质点的运动速度。用和描述方程的解,也就是用质点的“状态”(位置和速度)来表示该质点的运动。在物理学中,这种不直接用时间变量而用状态变量来描述运动的方法称为相空间方法,也称为状态空间法。在自动控制理论中,把具有直角坐标的平面称为相平面。相平面是二维的状态空间(平面),相平面上的每个点对应着系统的一个运动状态,这个点就称为相点。相点随时间的变化在平面上描绘出的轨迹线,表征了系统运动状态(相)的演变过程,这种轨迹称为相轨迹。对于二阶系统,它的状态变量只有两个,所以二阶系统的运动可在相平面上表示出来。对于三阶系统,它有三个状态变量,必须用三维空间来描述其相迹,这就比较困难了。对于三阶以上的系统,要作其相轨迹就更加困难;然而原则上可以将二维空间中表示点运动的概念扩展到维空间去。
相平面法是一种用图解求下列两个联立一阶微分方程组的方法。首先把二阶常微分运动方程
改写成两个联立一阶微分方程,令,则有
或(7-20)
用(7-20)式的第一个方程除第二个方程,可得
(7-21)
解(7-21)式就可得相轨迹方程,作出相迹来。
为了便于理解,先讨论大家比较熟悉的线性二阶系统的相轨迹及其特点,以及绘制方法,然后再讨论非线性系统。另外,不少非线性元件的特性都可分段用直线来表示,故整个非线性系统的运动,可以分段用几个线性方程来描述。因此,熟悉线性系统的相迹,对讨论非线性系统的相迹也是很有好处的。
二、线性系统的相轨迹及其特点
1、二阶线性系统的相轨迹
设系统的微分方程式如下
(7-22)
取为相平面坐标,上式可写成为
或(7-23)
由时域分析法讨论可知,式(7-22)所示自由运动形式由特征方程式的根分布特点所决定。主要有以下几种情况:
(1)的无阻尼等幅振荡解析法求相轨迹方程:方法①,求解微分方程(7-22)式得,将求导数得,最后消去和中的中间变量,即可得相轨迹方程及相轨迹图。方法②,对式(7-23)进行积分,求出相轨迹方程。这种方法只有当方程可以进行积分时才能采用。下面分析用这两种解析法求相轨迹方程。
方法①:当时,微分方程(7-22)的解为
(7-24)
对上式求导数得
(7-25)
式中是由初始条件决定的常量。将(7-24)式左、右两边乘以,然后平方并与式(7-25)的平方式相加,即消去,得相轨迹方程(椭圆方程):
显然相轨迹是一个椭圆。
方法②:当时,方程(7-23)式为
(7-26)
对上式积分,同样可得相轨迹方程
(7-27)
当取不同初始值、时,式(7-27)在相平面上呈现一簇同心椭圆,如图7-35(a)所示。
相轨迹随时间变化的方向:在平面的上半平面内,,随时间的增大而增大,所以相轨迹方向自左至右指向增加方向;在平面的下半平面内,,随时间的增大而减小,故相轨迹方向应自右至左指向减小方向。所以相轨迹的方向如图7-35(a)中箭头所示。
图7-35(a)
相轨迹的斜率:相迹与横坐标轴的交点,由式(7-23)可知,,所以相轨迹垂直地穿过横坐标轴
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