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第一章矢量分析

1.场是表征空间区域中各点物理量的时空分布函数。静态场由空间确定，不随时间变

化；时态场随时间空间变化。

1.一个模为1的矢量称为单位矢量a。

2.场域性质是指场在有限区域的分布状况。

4.标量场的等值面特性：

3.(1)常数C取不同数值时，就得到不同的等值面方程，因而形成充满标量场u所

在空间的等值面蔟（见图1.9）；

(2)由于u(x,y,z)是坐标的单值函数，场中任意一点只能在一个等值面上，标量场

的等值面互不相交；

(3)三维标量场退化为二维或一维的标量场时，等值面退化为等值线（曲线或直

线）。

等值面——在标量场中，使标量函数u(x、y、z)取相同数值的点形成的空间曲面。

矢量线——是一种有向曲线：某点矢量场的大小用该点附近矢量线分布的疏密度表示，方向

与该点场矢量的方向一致。

4.问题：为什么要同时应用矢量场的通量和环量来描述矢量场的场域性质？

5.矢量场对有向曲面的面积分称为矢量场通过该有向曲面的通量。

ψ0

7.(1）当时，表示穿出闭合闭曲面S的通量线多于穿入的通量线，闭曲面S内必有发出

通量线的正通量源（例如，发出静电场力线的正电荷）；

（2）当ψ0时，表示穿出闭合闭曲面S的通量线少于穿入的通量线，闭曲面S内必有汇

聚通量线的负通量源（例如，汇聚静电场力线的负电荷）；

（3）当ψ0时，表示穿出和穿入闭合闭曲面S的通量线相等，闭曲面S无通量源。

8.矢量场沿有向曲线的线积分称为矢量场沿该有向曲线的环量。

9.（1）当Γ0θ0dl

时，，表示F与取向相同，沿闭曲线周线上形成正环量源；

π

θ

Γ02dl

（2）当时，，表示F与取向相反，沿闭曲线周线上形成负环量源；

π

θ

Γ02dl

（3）当时，，表示F与正交，沿闭曲线周线上不存在环量源。

10.场点性质是指场在某点邻域的空间变化率。

11.标量场的梯度：引入方向导数描述标量场中某点在其邻域内沿各个方向的变化规律。

12.标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上对距离的变化率。

13.在标量场中给定点可以发出无限多个射线，不同方向的变化率是不相同的，方向导数具

有不确定性。但在无限多个方向中必定只存在一个具有最大变化率的方向导数。

14.标量场在某点的梯度是一个矢量，其大小为具有最大变化率的方向导数，其方向为变化

率最大的方向。

15.散度是一个标量，可理解为通过单位体积闭曲面的通量（通量体密度或通量源强度）。

16.旋度是一个矢量，其大小为沿单位面积上的最大环量（最大环量面密度或最大环量源强

度），其方向为曲面取向使环量最大时，该曲面的法线方向。

17.梯度、散度和旋度的比较：1.三个度均用于描述某点场的空间变化率，但变化方式不同，

揭示了场的特性也不同。2.三个度均用于表述某点场与场源的相依关系，不同变化规律的

散度场（或无旋场）～散度源（或通量源）

旋度场（或无散场）～旋度源（或旋涡源）

场对应于不同性质的场源。标量场的梯度场（或位场）～散度源（或通量源）

3.标量场的梯度是矢量函数，矢量场的散度是标量函数，矢量场的旋度是矢量函数。

18.问题：由梯度、散度和旋度的定义式和直角坐标式说明，为什么在数学上可以引入矢

∇

性微分算符“”来统一表示？

19.亥姆霍兹定理：在无界区域中，某场点的矢量场由其散度和旋度唯一确定。

第二章源量的定义和库伦定律

1.微粒物质构成的带电体所带电量的多少称为电荷量。

2.当观察点与带电体的距离远大于带电体尺度时，可将点电荷视为体积很小而电荷密度很大

的带电小球的极限，其总电量完全集中于球心处。

3.电荷作定向运动，形成电流，其大小用电流强度来表示。

∆t∆q