2023-2024学年人教A版必修第二册 7-3 复数的三角表示 学案.docx

7.3*复数的三角表示

新课程标准解读

核心素养

1.通过复数的几何意义，了解复数的三角表示，了解复数的代数表示与三角表示之间的关系

数学抽象

2.了解复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

数学运算

设复数z＝1＋3i在复平面内对应的点为Z.

问题（1）写出点Z的坐标，并在图中描出点Z的位置，作出向量OZ；

（2）记r为向量OZ的模，θ是以x轴非负半轴为始边、射线OZ为终边的一个角，求r的值，并写出θ的任意一个值，探讨r，θ与z＝1＋3i的实部、虚部之间的关系.

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知识点一复数的三角形式

1.定义：任何一个复数z＝a＋bi都可以表示成r（cosθ＋isinθ）的形式.其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角.r（cosθ＋isinθ）叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式.?

2.辐角的主值：规定在0≤θ＜2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值.通常记作argz，即0≤argz＜2π.

提醒辐角和辐角主值的区别与联系：区别，辐角θ是指以x轴的非负半轴为始边，以复数z所对应的向量OZ所在射线（射线OZ）为终边的角，显然辐角有无数个，而辐角主值是指在0≤θ＜2π范围内的辐角，因而一个复数的辐角主值只有一个；联系，θ＝2kπ＋argz，k∈Z.

知识点二复数三角形式的乘、除运算

1.乘法运算法则

设z1＝r1（cosθ1＋isinθ1），z2＝r2（cosθ2＋isinθ2），则z1z2＝r1r2[cos（θ1＋θ2）＋isin（θ1＋θ2）].

即：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.

2.除法运算法则

设z1＝r1（cosθ1＋isinθ1），z2＝r2（cosθ2＋isinθ2），且z2≠0，则z1z2＝r1r2[cos（θ1－θ2）＋isin（θ1

即：两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.

1.复数1＋i的辐角主值为（）

A.π6 B.

C.π4 D.

解析：C因为复数1＋i对应的点在第一象限，所以arg（1＋i）＝π4

2.将复数i对应的向量ON绕原点按逆时针方向旋转π3，得到向量OM，则OM对应的复数是（

A.32＋12I B.－32

C.－32－12I D.32

解析：Bi＝cosπ2＋isinπ2，将ON绕原点按逆时针方向旋转π3得到OM对应的复数为cos5π6＋isin5π

3.计算（cosπ＋isinπ）÷（cosπ3＋isinπ3）＝

解析：（cosπ＋isinπ）÷（cosπ3＋isinπ3）＝cos2π3＋isin2π3

答案：－12＋3

题型一

复数的代数形式化为三角形式

【例1】将下列复数的代数形式化成三角形式：

（1）3＋i；

（2）1－i.

解（1）r＝（3）2＋12＝2，

因为对应的点在第一象限，所以arg（3＋i）＝π6

故3＋i＝2cosπ

（2）r＝12＋(-1）2＝2，

因为对应的点在第四象限，所以arg（1－i）＝7π

故1－i＝2cos

通性通法

将复数的代数形式转化为三角形式的步骤

（1）求复数的模；

（2）确定辐角所在的象限；

（3）根据象限求出辐角；

（4）求出复数的三角形式.

下列复数是复数三角形式表示的是（）

A.12cosπ4－

C.12sin34π＋icos

解析：D选项A，cosπ4与isinπ4之间用“－”连接，不是用“＋”连接；选项B，－12＜0不符合r≥0的要求；选项C，是icos34π与sin34π用“＋”连接而不是cos34π＋isin34π的形式.故A、

题型二

复数的三角形式化为代数形式

【例2】复数z＝3（cos2π3＋isin2π3）

A.32＋32i B.－32

C.－32＋32i D.32

解析z＝3cos2π3＋isin2π3＝3cos2π3＋（3sin2π3）i＝3×

答案C

通性通法

将复数的三角形式化为代数形式的方法是：复数三角形式为z＝r（cosA＋isinA），代数形式为z＝x＋yi，对应实部等于实部，虚部等于虚部，即x＝rcosA，y＝rsinA.

复数2cos74π＋

解析：2（cos74π＋isin74π）＝2［cos（π＋34π）＋isin（π＋34π）］＝2－cos34π－i

答案：1－i

题型三

复数三角形式的乘、除法运算

【例3】计算：

（1）2cos2π