专题08导数-2024年新高考地区数学一模分类汇编-山东专用（解析版）.docxVIP

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专题08导数

2024年新高考地区数学一模分类汇编-山东专用（解析版）

一、单选题

1．（2024·山东枣庄·一模）已知集合，，则（???）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】首先解对数不等式求出集合，再根据函数的定义求出集合，最后根据补集、并集的定义计算可得.

【详解】由，可得，所以，

即，

对于函数，则，解得或，

所以，

所以，

所以.

故选：D

2．（2024·山东济南·一模）若不等式对任意的恒成立，则的最小值为（????）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】因为，所以，即求直线的纵截距的最小值，设，利用导数证明在的图象上凹，所以直线与相切，切点横坐标越大，纵截距越小，据此即可求解.

【详解】因为，所以，

所以即求直线的纵截距的最小值，

设，所以，

所以在单调递增，所以在的图象上凹，

所以直线与相切，切点横坐标越大，纵截距越小，

令切点横坐标为，所以直线过点，且直线斜率为

所以的直线方程为，

当时，，

即直线与相切时，

直线与无交点，

设，所以，

所以在时斜率为，在时斜率为，均小于直线的斜率，

所以可令直线在处与相交，在处与相交，

所以直线方程为，

所以截距为.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：本题关键在于，，即求直线的纵截距的最小值的分析.

3．（2024·山东实验中学·一模）已知函数，若，是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是（????）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

由已知可得，根据余弦函数的单调性，得出，由的单调性即可判断选项.

【详解】因为，所以，

当时，，所以，即，

所以在上单调递减.

因为，是锐角的两个内角，所以，则，

因为在上单调递减，

所以，

故，故D正确.

同理可得，C错误；

而的大小不确定，故与，与的大小关系均不确定，

所以与，与的大小关系也均不确定，AB不能判断.

故选：D

二、多选题

4．（2024·山东聊城·一模）设是定义在上的可导函数，其导数为，若是奇函数，且对于任意的，，则对于任意的，下列说法正确的是（????）

A．都是的周期 B．曲线关于点对称

C．曲线关于直线对称 D．都是偶函数

【答案】BC

【分析】结合题意，借助导数的运算可判断函数的对称性，借助赋值法，可得函数的周期性，利用所得函数的性质，结合选项逐项分析判断即可得.

【详解】由是奇函数，故有，即有，

故，则，即，故关于对称，

由，则，即，

故关于中心对称，

由，则，又，

故，即有，

则，故，

即，故，故周期为.

对A：当时，，故A错误；

对B：由周期为，故，

又，故，故，

故曲线关于点对称，故B正确；

对C：由周期为，故，

又，故，

故曲线关于直线对称，故C正确；

对D：由B得，故，又周期为，

故有，故，又，

即都是奇函数，故D错误.

故选：BC.

【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：

（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；

（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.

5．（2024·山东潍坊·一模）已知函数及其导函数的定义域均为，记，且，，则（???）

A． B．的图象关于点对称

C． D．（）

【答案】ABD

【分析】对于A，对条件，求导可得；对于B，对条件，两边同时除以可得；对于C，反证法，假设C正确，求导，结合条件，可得与矛盾，可判断C；对于D，求出，，所以有，，，得出数列是以0为首项，为公差的等差数列，利用等差数列求和公式即可判断．

【详解】因为，

所以，即，

令，得，故A正确；

因为，

当时，，

所以的图象关于点对称，故B正确；

对于C，假设成立，

求导得，

即，又，

所以，所以与矛盾，故C错误；

对于D，因为，，

所以，，，，

所以有，

所以数列的奇数项是以为首项，为公差的等差数列，

数列的偶数项是以为首项，为公差的等差数列，

又，，

所以数列是以为首项，为公差的等差数列，

所以，

所以，故D正确．

故选：ABD．

【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是，的应用，D选项关键是推出是以为首项，为公差的等差数列.

三、填空题

6．（2024·山东济宁·一模）已知函数（且）恰有一个零点，则实数的取值范围为．

【答案】

【分析】原式转化为判断的交点问题，分和两种情况讨论结合指对函数对称性，导数的几何意义进而得解.

【详解】令得，即，令，

当时，即时，若两函数有且仅有一交点，

由指数函数和对数函数特征可判断此交点必定落在这条直线上，且该点为两函数的公切点，

设切点为，则，则有，即，解得，

由得，，所以，解得，即，，即，；

当时，即时，