2023-2024学年人教A版必修第二册 9-2-3　总体集中趋势的估计 学案.docx

9.2.3总体集中趋势的估计

新课程标准解读

核心素养

1.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数）

数据分析、数学运算

2.理解集中趋势参数的统计含义

数学运算、数学建模

现从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种家电产品中，各抽取8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，其结果如下（单位：年）：甲：3，4，5，6，8，8，8，10；乙：4，6，6，6，8，9，12，13；丙：3，3，4，7，9，10，11，12.

问题三家广告中都称其产品的使用寿命为8年，利用初中所学的知识，你能说明为什么吗？

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知识点一众数、中位数、平均数的定义

（1）众数：一组数据中出现次数最多的数；

（2）中位数：把一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，处在中间位置的数（或中间两个数的平均数）；

（3）平均数：一组数据的和除以数据个数所得到的数.

知识点二总体集中趋势的估计

（1）平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关；

（2）对一个单峰的频率分布直方图来说，如果直方图的形状是对称的（图①），那么平均数和中位数应该大体上差不多；如果直方图在右边“拖尾”（图②），那么平均数大于中位数；如果直方图在左边“拖尾”（图③），那么平均数小于中位数.也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边；

（3）在频率分布直方图中，众数是最高矩形底边中点的横坐标，中位数左边和右边的直方图的小矩形的面积应该相等，样本平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和.

提醒（1）如果一组数据x1，x2，…，xn的平均数为x，那么x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的平均数是x＋a；mx1，mx2，…，mxn的平均数是mx；mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数是mx＋a；（2）平均数、中位数、众数之间的区别：①一组数据中的平均数、中位数都是唯一的；②众数一定是原数据中的数，平均数和中位数都不一定是原数据中的数；③众数可以有一个，也可以有多个，也可以没有.如果在一组数据中有两个或两个以上的数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这几个数据都是这组数据的众数.

1.一组数据30，29，28，27，26，24，23，22的中位数为（）

A.26 B.27

C.26和27 D.26.5

解析：D中位数为27+262＝26.5.故选

2.一组数据a，0，1，2，3，若该组数据的平均数为1，则a＝（）

A.0 B.2

C.1 D.－1

解析：Dx－＝a+0+1+2+35＝1，解得a＝－

3.已知一组数据：15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，则该组数据的众数是.?

解析：10，12，16各出现1次，14，15各出现了2次，17出现的次数为3次，是最多的，故众数为17.

答案：17

题型一

众数、中位数、平均数的计算

【例1】某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数如下所示：

甲：20，22，27，8，12，13，37，25，24，26

乙：14，9，13，18，19，20，23，21，21，11

则下面结论中正确的是（填序号）.?

①乙的众数是21；②甲的平均数为21.4；③甲的中位数是24.

解析把两组数据按从小到大的顺序分别排列，得

甲：8，12，13，20，22，24，25，26，27，37

乙：9，11，13，14，18，19，20，21，21，23

乙中出现最多的数据是21，所以①正确；甲的平均数为x甲＝110×（8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋37）＝21.4，所以②正确；甲的中位数为12×（22＋24）＝23，故

答案①②

通性通法

平均数、众数、中位数的计算方法

平均数一般是根据公式来计算的，计算众数、中位数时，可先将这组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，再根据各自的定义计算.

给定一组数据15，17，14，10，12，17，17，16，14，12，设这组数据的平均数为a，中位数为b，众数为c，则（）

A.a＞b＞c B.c＞b＞a

C.c＞a＞b D.b＞c＞a

解析：B将数据从小到大排列：10，12，12，14，14，15，16，17，17，17，平均数a＝110（10＋12＋12＋14＋14＋15＋16＋17＋17＋17）＝14.4，中位数b＝14+152＝14.5，众数c＝17，所以c＞b