线性代数与概率论 第五版 第一章 行列式.ppt

例1*(1)判别有无唯一解;(2)若有唯一解,则求唯一解.解：(1)计算系数行列式所以此线性方程组有唯一解例1*(2)再计算行列式解：所以此线性方程组的唯一解为例2*判别有无唯一解计算系数行列式解：=1+(-4)+3-1-6-(-2)=-5≠0所以此线性方程组有唯一解齐次线性方程组*常数项为零的线性方程式称为齐次线性方程式对于齐次线性方程组,显然所有未知量取值皆为零是它的一组解,这组解称为零解此外,若未知量的一组不全为零取值也是它的解,则称这样的解为非零解齐次线性方程组一定有零解,也可能有非零解对于由n个齐次线性方程式构成的n元齐次线性方程组,根据克莱姆法则,如果系数行列式D≠0,则有唯一解,意味着仅有零解,说明无非零解在什么条件下,它一定有非零解？齐次线性方程组*定理1.3已知由n个齐次线性方程式构成的n元齐次线性方程组那么:(1)如果系数行列式D=0,则此齐次线性方程组有非零解;(2)如果此齐次线性方程组有非零解,则系数行列式D=0.例3*判别有无非零解.例3*解：计算系数行列式第1行加到第4行上去注意到第4行与第3行的对应元素相同=0所以此齐次线性方程组有非零解.第2行加到第3行上去例4*有非零解,求系数k的值.例4*解：计算系数行列式第1行的公因子k+2提到行列式外面第2行与第3行皆加到第1行上第1行的-1倍分别加到第2行与第3行上去例4*解：=(k+2)(k-1)2由于此齐次线性方程组有非零解,因而系数行列式D=0即(k+2)(k-1)2=0,所以系数k=-2或k=1**例10*解：*本节主要学习目标：[知识目标]熟练掌握余子式与代数余子式概念及计算。熟练掌握行列式展开定理[能力目标]能运用行列式展开定理进行行列式计算。余子式与代数余子式定义*定义1.4则称剩余元素构成的n-1阶行列式为元素aij的余子式，记作Mij;Aij=(-1)i+jMij注：n阶行列式共有n2个元素,每一个元素都有其代数余子式,因此共有n2个代数余子式.例1*例1*解：=28+15+0-0-8-0=35A23=(-1)2+3M23代数余子式*容易求得第1行各元素的代数余子式代数余子式*元素a11的代数余子式元素a12的代数余子式元素a13的代数余子式代数余子式*三阶行列式D的值与这些代数余子式之间有什么关系?代数余子式*这说明三阶行列式D的值等于第1行各元素与其代数余子式乘积之和,称为三阶行列式D按第1行展开。同理,经过类似推导,三阶行列式D可以按第2行或第3行展开,也可以按第1列或第2列或第3列展开总之,三阶行列式D等于任意一行(列)各元素与其代数余子式乘积之和.代数余子式定理1.2n阶行列式D等于它的任意一行(列)各元素与其代数余子式乘积之和,即=…代数余子式**定理1.2（续）注：在计算n阶行列式时,只需选择应用定理1.2中一个关系式就可以得到所求n阶行列式的值=…例2*已知四阶行列式D中第2行的元素自左向右依次为4,3,2,1,它们的余子式分别为5,6,7,8,求四阶行列式D的值.解：根据行列式中元素aij的代数余子式Aij与余子式Mij之间的关系Aij=(-1)i+jMij容易得到四阶行列式D中第2行各元素的代数余子式.例2*解：A22=(-1)2+2M22=(-1)2+2×6=6A21=(-1)2+1M21=(-1)2+1×5=-5A23=(-1)2+3M23=(-1)2+3×7=-7A24=(-1)2+4M24=(-1)2+4×8=8例2*解：所以四阶行列式D按第2行展开,它的值为=4×(-5)+3×6+2×(-7)+1×8=-8在具体计算行列式时,注意到零元素与其代数余子式乘积等于零,这一项可以不必考虑,于是应该按零元素比较多的一行(列)展开,以减少计算量.例3*解：（1）按第2列展开=0×A12+0×A22+(-1)×A32+0×A42=(-1)×A32=(-1)×(-1)3+2M32例3*解：（2）继续按第3列展开=0×A13+2×A23+0×A33=2×A23=2×(-1)2+3M23=2×(-3)=-6例4*解：按第1行展开=1×A11+2×A12+0×A13+0×A14=1×A11+2×A12=1×(-1)1+1M11+2×(-1)1+2M12例4*解：注意到余子式M11为三角形行列式,其值等于主对角