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第五节曲面及其方程

教学目的：介绍各种常用的曲面，为下学期学习重积分、线面积分打下基础。学生应该会写出常用的曲面方程，并对已知曲面方程能知道所表示曲面的形状。

教学重点：1.球面的方程

旋转曲面的方程

教学难点：旋转曲面

教学内容：

一、曲面方程的概念

实例：水桶的表而、台灯的罩子面等，曲而在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹。

曲而方程的泄义：如果曲而S与三元方程

F（x,y,z）=O （1）

有下述关系：

（1） 曲面S上任一点的坐标都满足方程（1）

（2） 不在曲而S上的点的坐标都不满足方程（1）

那么，方程（1）就叫做曲而S的方程，而曲而S就叫做方程（1）的图形。

几种常见曲而

（1） 球面

例1：建立球心在儿,％）、半径为/?的球而的方程。

解：设M°（x（”yo，Zo）是球而上的任一点，那么

陆

即： J（x_Xo）=+（y_〉b）=+（z_z（））2=R

或： （x—x。）+（$-儿）2+（z-s）2=R‘

特別地：如果球心在原点，那么球而方程为（讨论旋转曲而）x2+y2+z2=R2

（2） 线段的垂宜平分面（平面方程）

例2：设有点人（1,2,3）和8（2,—1,4）,求线段AB的垂直平分而的方程。

解：由题意知道，所求平而为与A和3等距离的点的轨迹，设M(x,y,z)是所求平而上的任一点，由于IMAITMBI,那么

J(x_I)」+(y_ +(z_3尸=J(x_2尸+(y+1)?+(乙_4尸

化简得所求方程

2x-6y+2z-7=0

研究空间曲面有两个基本问题：

已知曲而作为点的轨迹时，求曲而方程。

已知坐标间的关系式，研究曲而形状。旋转曲面

定义：以一条平而曲线绕尖平而上的一条直线族转一周所成的曲面叫做旋转曲而，旋转曲线

和左宜线依次叫旋转曲而的母线和轴。

二、旋转曲面的方程

设在yoz坐标而上有一已知曲线C,它的方程为

f(y,z)=0

把这曲线绕z轴旋转一周，就得到一个以z轴为轴的旋转曲而，设MJOjmJ为曲线C上

的任一点，那么有

f(yj,zj)=0 (2)

当曲线C绕z轴旋转时，点Mi也绕z轴旋转到列一点M(x,y,z),这时保持不变，且点M到z轴的距离

“=ylx~+y~=|”|

将zi=z,y,=±yjx2+y2代入(2)式，就有螺旋曲面的方程为

/(±Jx+y2,Z)=0

旋转曲而图绕哪个轴旋转，该变量不变，另外的变量将缺的变量补上改成正负二者的完

全平方根的形式。

常用旋转曲面：锥而(直线绕直线旋转，两直线的夹角(0°?90°)),方程为：

Z2=a2(x2+y2)

其中a=cota

三、柱面

定义：平行于左直线并沿曲线左曲线C移动的宜线厶形成的轨迹叫做柱而。

定曲线C：准线 动直线厶母线

特征：a-,y,z三个变量中若缺其中之一（例如刃则表示母线平行于y轴的柱而。

3：几个常用的柱面：

b）圆柱面：x2+y2=R2（母线平行于？轴）

c）抛物柱面：）F=2尤（母线平行于z轴）

小结：曲而方程的概念，旋转曲面的概念及求法，柱而的概念（母线、准线）。

作业：作业卡P74

第六节空间曲线及其方程

教学目的：介绍空间曲线的各种表示形式。第五、六节是为重积分、曲面积分作准备的，学生应知道各种常用立体的解析表达式，并简单描图，对投影等应在学习时特别注意。

教学重点：1.空间曲线的一般表示形式

2.空间曲线在坐标面上的投影

教学难点：空间曲线在坐标面上的投影

教学内容：

一、 空间曲线的一般方程

空间曲线可以看作两个曲面的交线，故可以将两个曲而联立方程组形式来表示曲线。

F（x,y,Z）=O

G（x,y,z）=O

特点：曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程。

二、 空间曲线的参数方程

将曲线C上的动点的坐标表示为参数/的函数：

X=x(t)

y=W)

z=z(/)

当给茴=A时，就得到曲线上的一个点3」杼)，随着参数的变化可得到曲线上的全部点。

三、空间曲线在坐标面上的投影

设空间曲线C的一般方程为

F(x,y,z)=O

G(x,”z)=O

消去英中一个变量(例如z)得到方程

H(x,y)=O (4)

曲线的所有点都在方程(4)所表示的曲面(柱而)上。

此柱而(垂直于xoy平而)称为投影柱面，投影柱面与xoy平面的交线叫做空间曲线C在xoy而上的投影曲线，简称投影，用方程表示为

[H(x,y)=0

Z=0

同理可以求出空间曲线C在其它坐标而上的投影曲线。

在重积分和曲而枳分中，还需要确左立体或曲而在坐标而上的投影，这时要利用投影柱

而和投影曲线。

例1：设一个立体由上半球而Z=