2023-2024学年天津市河西区高一下学期期中考试数学试题（解析版）.docx

高级中学名校试卷

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天津市河西区2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

一、单项选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1.化简：（）

A. B. C. D.

〖答案〗A

〖解析〗.

故选：A.

2.下列说法正确的是（）

A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥

B.长方体是平行六面体

C.用一个平面去截圆柱，所得截面一定是圆形或矩形

D.用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台

〖答案〗B

〖解析〗对于A，底面是正多边形，侧棱均相等的棱锥是正棱锥，故A错误；

对于B，平行六面体是各个面都为平行四边形的棱柱，而长方体是各面为矩形的棱柱，

所以长方体是平行六面体，故B正确；

对于C，用一个平面去截圆柱，所得截面可能为椭圆，故C错误；

对于D，用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故D错误.

故选：B.

3.复数的共轭复数是（）

A. B. C. D.

〖答案〗C

〖解析〗因为，所以，

所以复数的共轭复数是.

故选：C.

4.已知正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则（）

A.2 B. C.4 D.

〖答案〗C

〖解析〗因为正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，

则，所以，解得.

故选：C.

5.若单位向量，，满足，，则（）

A.0 B. C.0或 D.0或

〖答案〗D

〖解析〗由题意知，，

得，

又，所以，则或，

故或.

故选：D.

6.根据下列情况，判断三角形解的情况，其中有唯一解的是（）

A B.

C. D.

〖答案〗D

〖解析〗对于A，由正弦定理可得：，所以，

因为，所以，所以三角形有2解，故A错误；

对于B，由正弦定理可得：，所以，此三角形无解，

故B错误；

对于C，由正弦定理可得：，所以，

因为，所以，则为钝角，不成立，所以无解，故C错误；

对于D，由正弦定理可得：，所以，

因为，所以，所以此三角形只有唯一解，故D正确.

故选：D.

7.正六边形中，，，则（）

A. B. C. D.

〖答案〗B

〖解析〗由正六边形的性质可得，

则以，所在直线分别为，轴建立平面直角坐标系，

设正六边形的边长为，则，，，，

所以，，，

设，则，

所以，解得，所以．

故选：B．

8.如图，有一个水平放置的透明无盖的正三棱柱容器，所有棱长都为，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时，测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）

A. B.

C. D.

〖答案〗D

〖解析〗设球的半径为R，球的截面圆的半径为r，

即为正三棱柱底面三角形的内切圆的半径，

则，

解得，由球的截面性质得：，

解得，所以球的体积为.

故选：D.

9.在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，且，，则的取值范围是（）

A. B. C. D.

〖答案〗D

〖解析〗锐角中，，，由正弦定理可得，

所以，又，所以，解得，

所以，所以．

故选：D．

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，多空题只答对一空得3分，共30分．

10.已知是虚数单位，复数的虚部为___________．

〖答案〗

〖解析〗因为，所以的虚部为.

故〖答案〗为：.

11.已知向量，，且，则实数______________．

〖答案〗

〖解析〗因为，，所以，

，

因为，所以，解得.

故〖答案〗为：.

12.在中，，，，则BC边上的高为________．

〖答案〗

〖解析〗因为，，所以，

由正弦定理得，

由余弦定理，得，

解得（负值舍），设BC边上的高为h，则．

故〖答案〗为：.

13.已知是关于的实系数方程的两个虚根，则___________．

〖答案〗

〖解析〗因为，即，所以，，

则，，所以.

故〖答案〗为：.

14.底面半径为1的圆锥的侧面积是它的底面积的两倍，则圆锥的内切球的表面积与圆锥的表面积之比为___________．

〖答案〗

〖解析〗圆锥的轴截面是，设圆锥的底面半径，

母线为，则，，所以，得：，如图，

可知是正三角形，O是内切球球心，圆锥的内切球分别与边交于点，

所以，是内切球半径，

因为，则，又

所以，即，所以内切球表面积，

所以，则圆锥的内切球的表面积与圆锥的表面积之比为.

故〖答案〗为：.

15.在四边形中，，，，，为的中点，，则_____；设点为线段上的动点，则最小值为_____．

〖答案〗．

〖解析〗为的中点，，

，，，

，

，

；

设，

，

，

时，取得最小值为.

故〖答案〗为：.

三、解答题：本大题共3小题，共34分．解答