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北京大学2005 数学专业研究生 数学分析
2
x sin x − 1
1. 设f (x) = 2 sin x ，试求lim sup f (x) 和 lim inf f (x) .
x − sin x x→+∞ x→+∞
′
2. (1)设f (x) 在开区间(a,b) 可微，且f (x) 在(a,b) 有界。证明f (x) 在(a,b) 一致连续。
′
(2) 设f (x) 在开区间(a,b) (−∞ < a < b < +∞) 可微且一致连续，试问f (x) 在(a,b)
是否一定有界。（若肯定回答，请证明；若否定回答，举例说明）
2 2
3 ．设f (x) = sin (x +1) .
(1)求f (x) 的麦克劳林展开式。
(n)
(2)求f (0) 。(n1,=2,3 )
2
4 ．试作出定f (x,y) 义在R 中的一个函数f (x,y) ，使得它在原点处同时满足以下三个条
件：
（1）f (x,y) 的两个偏导数都存在；（2 ）任何方向极限都存在；（3 ）原点不连续
2 2 2 2
5 ．计算 x ds .其中L 是球面x + y + z = 1与平面x+ y + z = 0 的交线。
∫L
6 ．设函数列{f (x)} 满足下列条件：（1）∀n ，f (x) 在[a,b] 连续且有f (x) ≤ f (x)
n n n n+1
（x∈ [a,b] ）
（2 ）{f (x)} 点点收敛于[a,b] 上的连续函数s(x)
n
证明：{f (x)} 在[a,b] 上一致收敛于s(x)
n
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