同济六版高等数学第七章第一节课件.pptVIP

§7.1 微分方程的基本概念 上页 下页 铃 结束 返回 首页 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程. 本节通过几个具体的例题来说明微分方程的基本概念. 上页 下页 铃 结束 返回 首页 设所求曲线的方程为y?y(x), 则 例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M(x, y)处的切线的斜率为2x, 求这曲线的方程. 解 下页 上式两端积分? 得 因为曲线通过点(1? 2)? 即当x?1时? y?2? 所以 2?12?C? C=1? 因此? 所求曲线方程为 y?x2?1? 说明? 当x?1时? y?2可简记为y|x?1?2? 例2 列车在平直线路上以20m/s的速度行驶; 当制动时列车获得加速度?0.4m/s2. 问开始制动后多少时间列车才能停住, 以及列车在这段时间里行驶了多少路程? 解 下页 设列车在开始制动后t秒时行驶了s米? 则 s????0?4? s?|t?0?20? s|t?0?0? 把等式s????0?4两端积分一次? 得s???0?4t?C1? 再积分一次? 得s??0?2t2 ?C1t ?C2 (C1? C2都是任意常数)? 由s?|t?0?20得20?C1? 由s|t?0?0得0?C2? 故s??0?2t2?20t? 故s???0?4t ?20? s??0?2?502?20?50?500(m)? 于是列车在制动阶段行驶的路程为 令s??0? 得t?50(s)? 说明? 未知函数是一元函数的微分方程, 叫常微分方程. 未知函数是多元函数的微分方程, 叫偏微分方程. 说明? 几个基本概念 下页 微分方程 表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程? 叫微分方程? 微分方程的阶 微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数? 叫微分方程的阶? 一般n阶微分方程的形式为 F(x? y? y?? ? ? ? ? y(n) )?0或 y(n)?f(x? y? y?? ? ? ? ? y(n?1) )? 一阶的 二阶的 说明? 微分方程的解 满足微分方程的函数叫做该微分方程的解? 确切地说? 设函数y??(x)在区间I上有n阶连续导数? 如果在区间I上? F[x? ?(x)? ??(x)? ? ? ?? ?(n) (x)]?0? 那么函数y??(x)就叫做微分方程F(x? y? y?? ? ? ?? y(n) )?0在区间I上的解? 在例2中? 方程 s????0?4的解有 s??0?2t2?C1t?C2、s??0?2t2?20t?C2和s??0?2t2?20t? 下页 说明? 微分方程的解 满足微分方程的函数叫做该微分方程的解? 在例2中? 方程 s????0?4的解有 s??0?2t2?C1t?C2、s??0?2t2?20t?C2和s??0?2t2?20t? 通解 如果微分方程的解中含有任意常数? 且任意常数的个数与微分方程的阶数相同? 这样的解叫做微分方程的通解? 特解 确定了通解中的任意常数以后? 就得到微分方程的特解? 即不含任意常数的解叫特解? 通解 通解 特解 特解 什么解？ 下页 说明? 对于一阶微分方程? 通常用于确定任意常数的条件是 对于二阶微分方程? 通常用于确定任意常数的条件是 例1是求方程y=2x满足初始条件y|x?1?2的解? 例2是求方程s??=-0.4满足初始条件s|t?0?0? s?|t?0?20的解? 下页 初始条件 用于确定通解中任意常数的条件? 称为初始条件? 下页 初始条件 用于确定通解中任意常数的条件? 称为初始条件? 说明? 说明?