【计算机算法基础】分治法.ppt

第二章 分治法（Divide and Conquer) —— “分”而治之 2.1 一般方法 对大规模问题的求解 利用分治法求解大规模问题 2. 分治策略的抽象化控制过程 算法2.1 分治策略的抽象化控制 procedure DANDC(p,q) global n.A(1:n); integer m,p,q; //1≤p≤q≤n// if SMALL(p,q) then return(G(p,q)) else m←DIVIDE(p,q) //p≤m＜q// return(COMBINE(DANDC(p,m), DANDC(m+1,q))) endif end DANDC 注： k=2: 二分是最常用的分解策略； SMALL(p,q)：布尔函数，判断输入规模q-p+1是否足够小而无需再进一步分就可求解； G(p,q)： 当SMALL(p,q)为真时，对输入规模为q-p+1的子问题求解； DIVIDE(p.q)：当规模q-p+1还较大时，对规模为q-p+1的子问题进一步分解，返回值为[p,q]区间进一步的分割点； COMBINE(x,y)：子结果的合并函数，将区间[p,m]和[m+1,q]上的子问题的解合并成区间[p,q]上的“较完整”的解。当p=1,q=n时，就得到整个问题的解。 DANDC的计算时间 若所分成的两个子问题的规模大致相等，则DANDC总的计算时间可用递归关系式表示如下： g(n) n足够小 T(n) = 2T(n/2) + f(n) 否则 注： T(n)：表示输入规模为n的DANDC计算时间 g(n)：表示对足够小的输入规模直接求解的计算时间 f(n)：表示COMBINE对两个子区间的子结果进行合并 的时间 （该公式针对具体问题有各种不同的变形） 2.2 二分检索（折半查找） 1. 问题的描述 已知一个按非降次序排列的元素表a1, a2, …,an，判定某给定的元素x是否在该表中出现。 若是，则找出x在表中的位置并返回其所在位置 的下标 若非，则返回0值。 问题的形式描述： I=(n, a1, a2, …,an,x) 问题分解：选取下标k，由此将I分解为3个子问题： I1=(k-1, a1, a2, …,ak-1,x) I2=(1, ak,x) I3=(n-k, ak+1, a2, …,an,x) 对于I2，若ak=x，则有解k，对I1、I3不用再求解；否则， 若x<ak，则只在I1中求解，对I3不用求解； 若x>ak，则只在I3中求解，对I1不用求解； 对I1 、I3的求解可再次采用分治方法求解 2. 二分检索 二分检索：每次选取中间元素的下标 算法2.3 二分检索 procedure BINSRCH(A,n,x,j) integer low,high,mid,j,n; low←1; high←n; while low≤high do mid ← case :x<A(mid):high←mid-1 :x>A(mid):low ←mid+1 :else:j←mid;return endcase repeat j←0 end BINSRCH 例2.1：设A(1:9)=(-15，-6，0，7，9，23，54，82，101) 在A中检索x=101，-14，82。执行轨迹见下表1 定理2.1 过程BINSRCH(A,n,x,j)能正确运行 证明： 1）在具体指定A中的数据元素及x的数据类型后，算法中的所有运算都 能按要求正确运行——即首先满足确定性和能行性 2）终止性 算法初始部分置l