高中数学不等式的证明说课稿.docVIP

不等式的证明习题课 教学背景：本节课属于复习课，学生是普通中学高二理科班学生，学生总体水平一般，课堂上思维比较活跃，有积极回答问题的好习惯。 教学过程： 教师：前面我们学习了不等式的证明，知道了不等式的证明主要有：比较法，综合法，分析法，换元法，放缩法，反证法，等等。这节课我们就对前三种方法作一个系统的复习。我们首先看一下这三种方法的基本运用。 （投影显示） 比较法证明不等式是最重要、最基本的方法，也是最常用的方法，比较法有作差法、作商法两种形式，但作商时必须考虑正负。 比较法证明不等式的步骤是： 作差（商）、（2）变形（主要方法是因式分解，配方，通分）（3）判断符号（判断过程必须详细叙述）。 综合法：我们可以利用已经证明的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常称为综合法。 分析法：证明不等式有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判断这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判断原不等式成立，这种证明方法通常叫分析法。分析法要注意叙述的形式，要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件。 首先来看几道练习题： （投影显示） 已知a≠2，求证:<1 证明: a2+b2+c2 ≥ab+bc+ca 已知a>1，求证:+<2 （找学生1、2、3板演，其它学生自己做，教师巡视，对学生出现的问题进行点拨。） 学生1、当a≠2时， ―1==―<0 ∴<1 学生2、∵a2+b2 ≥2ab,b2+c2 ≥2bc,a2+ c2≥2ac ∴2(a2+b2+c2) ≥2(ab+bc+ca) 即a2+b2+c2 ≥ab+bc+ca 学生3、要证+<2 只需怔(+)2<(2)2 即只需证2a+2<4a 即证<a 因为a>1,故只要证a2―1<a2 即证―1<0，因为―1<0显然成立， 所以+<2 教师：这三名同学的证法都对，而且步骤写得也很完整。同学们还有没有其它的证明方法？ 学生4：老师，第一道题还可以用分析法。（学生 4口述，教师板书） 要证<1 因为4+a2>0,即证4a<4+a2 只需证a2―4a+4>0 即证(a―2)2>0 因为a≠2,故 (a―2)2>0成立。 即<1 学生5、老师，第二道题还可以用作差法。 a2+b2+c2―ab―bc―ca =[(a2+b2―2ab)+(b2+c2―2bc)+(c2+a2―2ca)] =[(a―b)2+(b―c)2+(c―a)2]≥0 知a2+b2+c2 ≥ab+bc+ca 教师：同学们作得都很好，这说明，一道题的证法并不唯一，这就需要我们的知识要扎实，要融会贯通，这样学得才会灵活。而且我们在作题时，尽量采用简单的作法。 请同学们看课本30页第8题。 8、已知a>b>c,求证：++>0 （学生思考片刻，教师找学生6回答。） 学生6、（思维一般，采用通分的方法。） （证法一） ++ = = = =― ∵a>b>c ∴a―b>0,b―c>0,c―a<0 ∴―>0 即++>0 学生7、（证法二）（分析法） 要证++>0 即证+> 只需证>1 需证+>1 又a>b>c a―c> a―b> 0, a―c>b―c>0 ∴>1, >1 ∴+>1成立， 故++>0 学生8、（思维较快）（证法三） ∵b>c ∴―b<―c, ∴0<a―b<a―c∴> 即―>0 又>0 ∴―+>0 即++>0 教师：这道题同学们思路各异，用不同的方法，从不同的角度加以证明，而且证的都非常好。希望其它的同学向这些同学学习。 接着看课本31页第6题。 6、设a,b,c为△ABC的三条边， 求证：a2+b+c2<2(ab+bc+ca) （学生思考片刻，教师巡回） 教师：想出来怎么做了吗？ 学生9（综合法） （证法一） ∵a,b,c为△ABC的三条边， ∴a+b>c, 又c>0 ∴(a+b)c>c2 即ac+bc>c2 同理，ab+bc>b2 ab+ac>a2 ∴2(ab+bc+ca)>a2+b2+c2 （证法二）学生10：（综合法） ∵a,b,c为△ABC的三条边， ∴b+c>a a+c>b a+b>c ∴a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)> a2+b2+c2 即2(ab+bc+ca)>a2+b2+c2 教师：这种方法和上一种方法实质上是一种方法。不过，他们考虑的角度不同 （证法三）学生11：（还可以利用余弦定理来证。） ∵cosA= 而cosA≤1 ∴≤1 ∵A是△ABC的内角， 0°<A<18