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二、树的中心点 问题的提出:有下列若干居民区,居民 区间的距离如下图所示,问医院应建在哪 个居民区才能使最远居民区的人到医院看 病所走的路最短? 证明: (1)由于树 中只有唯一的一条 路 ,故 ,又因 是树 的一条最 长路,故 即为 的直径。 (2)分二步进行: 1。证明 ,有 : 事实上, ,我们有 2。证明 和 : 事实上,对每个 ,若 ,明显 的有 。 若 ;取 中一条 路 。 令 与 的第一个交点为 。记 由 的最长性,有 和 。 下分 和 ,可以证明 3。证明任意一条长为 的路一定通过 和 该定理说明了树的中心点必定出现树的最长路上,且中心点只有1个或2个 求树的中心点方法: 首先将树 中的叶全部删除 ,所得到的树 与 有相同的中心点,照此进行,直到留下1 个点或2个点,即为 中心点。 * CH 3 树 §3.1 树的基本性质 定义3.1.1 没有回路的连通图称为树,一般用 表示一棵树。 例:左图是两棵有4个顶点的树。 注: 只有一个顶点的树就是K1 这一节我们介绍一类特殊的连通图——树。 返回 结束 一、树的特征 是树,则若 ,就有 。事实上,由于 连通且 ,必有 。若 ,利用定理2.1.1, 中有回路,与 是树矛盾。从而 是树,若 ,就有 。 又由于 ,我们有 定理3.1.1 一个简单图 是树当且仅当 中任意两个不同顶点之间有且只有一条路连接。 注: 若一个图 是树,且设 中 两个不同顶点 的 路为 , 则 。 返回 结束 性质 是树 若 ,就有 ; 定理3.1.2 下述论断是等价的: 1.??图 是树(连通,无回路); 2.?????? 连通且 ; 3.?????? 无回路且 ; 4.?????? 连通且 的每一条边都是割边; 5.?????? 无回路且对 中任意两个不相邻的顶点 , 有且只有一个回路。 注: 1. 由定理2.2.2: 连通,则 。可见树是边数最少的连通图。事实上,树 也是最简单的连通图; 2. 由论断1,2与3可知,连通、无回路与 这三条性质中的任意两条都足以保证 是树,因而都可以作为树的定义。 返回 结束 下面我们证1,2,3,4,5等价。证明方法 。 证: 设 是树,对 用归纳法证明。 时,
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