年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题解答与分析.docVIP

2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题 （2005年4月10日　上午9：30－11：30） 答题时注意：1.用圆珠笔或钢笔作答. 2.解答书写时不要超过装订线. 3.草稿纸不上交. 一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分.　以下每小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。请将正确选项的代号填入题后的括号里。不填、多填或错填均得零分） 1.如图，有一块矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6.　将纸片折叠，使得AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED沿DE向右翻折，AE与BC的交点为F，则△CEF的面积为（　　　） 　A.2　　　B.4　　　C.6　　　D.8 (A) (B) (C) 解答：由AB＝8，AD＝6=>在(B)图中DB=AB-AD=2 =>在(C)图中BA=AD-DB=4，而∠DEA=45o，所以∠CEF=45o，因此CF=CE=DB=2， S△CEF= ×2×2=2 2.若（，是实数），则M的值一定是（　　　） 　A.正数　　　B.负数　　　C.零　　　D.整数 解答：解法1：=2x2-8xy+8y2+x2-4x+4+y2+6y+9 =2(x-2y)2+(x-2)2+(y+3)2 由于当x=2y,x=2,y=-3不可能同时成立，所以M>0。选A 解法2：令Y=0，M=3x2-4x+13=2x2+x2-4x+4+9=2x2+(x-2) 2+9>0 所以B、C、D都不对。所以选A 3.已知点I是锐角三角形ABC的内心，A1，B1，C1分别是点I关于边BC，CA，AB的对称点.　若点B在△A1 B1 C1的外接圆上，则∠ABC等于（　　　） 　A.30°　　　B.45°　　　C.60°　　　D.90° 解答：解法1：由于是选择题，这种题目一般取ABC为特殊三角形来验证是最快的解法，这里我们取三角形ABC为等边三角形， A1，B1，C1都在三角形ABC的外接圆上，所以△A1B1C1的外接圆与△ABC的外接圆是同一个，因此点B在△A1 B1 C1的外接圆上，所以选C 解法2：由A1，C1的对称性可知∠C1BA1=2∠ABC，∠C1B1I=∠BAC，∠A1B1I=∠ BCA， ∠C1B1A1= ∠C1B1I + ∠A1B1I =(∠BAC+∠BCA) 点B在△A1 B1 C1的外接圆可知，∠C1BA1+∠ C1B1A1=180=>(∠BAC+∠BCA)+ 2∠ABC=180 =>(∠BAC+∠BCA+ ∠ABC)+ ∠ABC=180=>∠ABC=90=>∠ ABC=60 4.设，则与A最接近的正整数是（　　　） 　A.18　　　B.20　　　C.24　　　D.25 解答： = == - 4×(+…+)= -+-+……++ =1+++---- =2+---- 12?2+近----)=25-12?正+++) 12?1+++)< < 所以与A最接近的正整数是25 选D 5.设，是正整数，且满足，，则等于（　　　） 　A.171　　　B.177　　　C.180　　　D.182 解答：<a<=>29.3<< a<<30.1=>a=30或者31 如果a=30，b>30×0.9=27 b<30×0.91=27.3无法选b 如果a=30，b>31×0.9=27.9 b<31×0.91=28.21 b只能为28 b2-a2=312-282=(31+28)×(31-28)=59×3=177 选B 二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6.在一个圆形时钟的表面，OA表示秒针，OB表示分针（O为两针的旋转中心）.　若现在时间恰好是12点整，则经过＿＿＿＿秒钟后，△OAB的面积第一次达到最大. 解答：当OA⊥OB时，△OAB的面积最大，我们只须计算第一次OA⊥OB的时间 设经过x秒钟后，第一次OA⊥OB x- =15 (15秒为90o，分针走了)=>x = 7.在直角坐标系中，抛物线（m＞0）与x轴交于A，B两点.　若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足，则m的值等于＿＿＿＿. 解答：抛物线（m＞0）与x轴交于(-,0)，(-,0)两点，且OA>OB 所以OA=，OB=， => - = => m=2 8.有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A，2，3，…，J，Q，K的顺序排列.　某人把按上述排列的两副扑克牌上下叠在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层，……如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是＿＿＿＿＿. 解答：此题跟二进制有关，一般情况下，我们有n张牌，设2m<n<=2m+1， 如果扑克牌的张数为2, 22,