（北师大版教案）2011年高考数学二轮考点专题突破：函数与方程思想.doc

专题七　数学思想方法 第一讲　函数与方程思想 一、选择题 1．已知向量a＝(3,2)，b＝(－6,1)，而(λa＋b)(a－λb)，则实数λ等于(　　) A．1或2 B．2或－ C．2 D．0 解析：λa＋b＝(3λ－6,2λ＋1)，a－λb＝(3＋6λ，2－λ)，若(λa＋b)(a－λb)，则(3λ－6)·(3＋6λ)＋(2λ＋1)(2－λ)＝0，解得λ＝2或λ＝－ 答案：B 2．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2.若对任意的x[t，t＋2]，不等式f(x＋t)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是(　　) A．[，＋∞) B．[2，＋∞) C．(0,2] D．[－，－1][，] 答案：A 3．f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)≤0.对任意正数a、b，若ab，则必有(　　) A．af(a)≤f(b) B．bf(b)≤f(a) C．af(b)≤bf(a) D．bf(a)≤af(b) 解析：xf′(x)＋f(x)≤0，即[xf(x)]′≤0， xf(x)是减函数．又ab， af(a)≥bf(b)． 又ba0，f(x)≥0， bf(a)≥af(a)且bf(b)≥af(b)， bf(a)≥af(a)≥bf(b)≥af(b)， bf(a)≥af(b)． 答案：C 4．f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，f(2)＝0，则函数y＝f(x)在区间(－1,4)内的零点个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：f(x)是定义在R上的奇函数， f(0)＝0.由f(2)＝0，得f(－2)＝0. 又f(x)的周期为3，f(1)＝0，f(3)＝0. 又f＝f＝f＝－f， f＝0.故选D. 答案：D 5．已知对于任意的a[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值总大于0，则x的取值范围是(　　) A．1x3 B．x1或x3 C．1x2 D．x2或x3 解析：将f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a看作是a的一次函数，记为g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4. 当a[－1,1]时恒有g(a)0，只需满足条件 即， 解之得x1或x3. 答案：B 二、填空题 6．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为________． 解析：只需求(x＋y)的最小值大于等于9即可，又(x＋y)＝1＋a·＋＋a≥a＋1＋2＝a＋2＋1，等号成立仅当a·＝即可，所以()2＋2＋1≥9，即()2＋2－8≥0求得≥2或≤－4(舍)， 所以a≥4，即a的最小值为4. 答案：4 7．若关于x的方程(2－2－|x－2|)2＝2＋a有实根，则实数a的取值范围是________． 解析：令f(x)＝(2－2－|x－2|)2，要使f(x)＝2＋a有实根，只需2＋a是f(x)的值域内的值． f(x)的值域为[1,4) 1≤a＋24，－1≤a2. 答案：[－1,2) 8．已知函数f(x)＝，aR，若方程f2(x)－f(x)＝0共有7个实数根，则a＝________. 解析：设y＝t2－t，t＝f(x)作出两函数的图象如图所示，由t2－t＝0知t＝0，或t＝1，当t＝0时，方程有两个实根；当t＝1时，要使此时方程有5个不同实根，则a＝1. 答案：1 9．若数列{an}的通项公式为an＝×n－3×n＋n(其中nN*)，且该数列中最大的项为am，则m＝________. 解析：令x＝n，则0x≤ 构造f(x)＝x3－3x2＋x，x ∴f′(x)＝8x2－6x＋1 令f′(x)＝0，故x1＝，x2＝. f(x)在上为增函数， f(x)在上为减函数 f(x)max＝f 即当x＝时，f(x)最大， n＝2时，a2最大． m＝2. 答案：2 三、解答题 10．设P是椭圆＋y2＝1(a1)短轴的一个端点，Q为椭圆上的一个动点，求|PQ|的最大值． 解：依题意可设P(0,1)，Q(x，y)，则 |PQ|＝. 又因为Q在椭圆上，所以x2＝a2(1－y2)． |PQ|2＝a2(1－y2)＋y2－2y＋1＝(1－a2)y2－2y＋1＋a2 ＝(1－a2)2－＋1＋a2， 因为|y|≤1，a1，若a≥，则≤1， 当y＝时，|PQ|取最大值； 若1a，则当y＝－1时，|PQ|取最大值2， 综上，当a≥时，|PQ|最大值为；当1a时，|PQ|最大值为2. 11．已知f(x)是定义在正整数集N*上的函数，当x为奇数时，f(x＋1)－f(x)＝1，当x为偶数时，f(x＋1)－f(x)＝3，且满足f(1)＋f(2)＝5. (1)求证：{f(2n－1)}(nN*)是等差数列； (2)求f(x)的解析式． (1)证明：由题意得 ， 两式相加得f(2n＋1)－f(2n