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习题3
3-1 如题3-1图所示电路,已知,,,,,列出的微分方程,求其零状态响应。
题3-1图
解:设通过电容的电流为,根据KVL定律列写回路方程,可得
整理得,
两边求拉斯变换,在零状态响应下
求拉斯反变换得
3-2 已知描述系统的微分方程和初始状态如下,试求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。
(1),,
(2),,,
解:(1)求零状态响应
当激励为零时,
特征方程,,解特征方程根,,则齐次解为
,代入初始条件:,
,解得,
即零输入响应
求零状态响应,,
设方程的特解,,将其代入微分方程得,
,代入初始条件,
,解得
零状态响应,;
全响应,
(2)求零输入响应
当激励为零时,齐次微分方程,
特征方程,,解得特征根,,则齐次解
,代入初始条件,
即零输入响应,;
求零状态响应,;
设方程的特解,,代入微分方程得,
,代入初始条件,
零状态响应,;
全响应,。
3-3 已知系统微分方程
求单位冲激响应。
解:
3-4 已知系统微分方程
求冲激响应和阶跃响应。
解:对系统两边求拉斯变换得,
当输入信号为单位冲激信号,即
求拉斯逆变换得系统的单位冲激响应,;
当输入信号为阶跃信号时,
求拉斯逆变换得系统的阶跃响应,。
3-5 计算下列函数的卷积。
(1),
(2),
(3),
(4),
解:(1) 根据卷积定义,
;
(2)根据卷积定义,
;
(3)根据卷积定义,
;
(4)根据卷积定义
3-6 已知某LTI系统的冲激响应,求输入为下列函数时的零状态响应。
(1)
(2)
解:解:系统的零状态响应,
(1)
(2)法一:定义式
法二:利用卷积的移位、积分性质
3-7 已知当输入时,某LTI系统的零状态响应为
求(1)系统函数;(2)系统的冲激响应;(3)描述该系统的微分方程。
解:(1)
(2)
(3)
3-8 已知某LTI系统的阶跃响应,欲使系统的零状态响应为
求系统的输入信号。
解:系统的阶跃响应,则求其拉斯变换得,,
得,,
系统的单位冲激响应,,
当系统的零状态的响应,
则,
得,
求拉斯逆变换得系统的输入信号,。
3-9 如题3-9图所示电路是最平幅度型(巴特沃思(Butterworth))三阶低通滤波器,他接于电源(含内阻R)与负载R之间。已知L=1H,C=2F,R=1Ω,求系统函数及其阶跃响应。
题3-9图
解:设通过电容C的电流为,通过负载电阻的电流为,
根据KVL,KCL,可列方程
两边求拉斯变换得,
得,
阶跃响应,,
对其两边求拉斯逆变换得阶跃响应,
。
3-10 已知系统函数,初始值,,输入,求时的全响应。
解:求零输入响应,
特征方程,得特征根,
得该方程的齐次解为,,
代入初始条件,得,得
;
求零状态响应,输入信号,,得,
,
求拉斯逆变换得零状态响应,
;
即全响应,。
3-11 求下列系统函数的零极点,并定性绘出系统冲激响应的波形。
(1),(2),(3)
解:(1)系统的极点,系统的冲激响应,,
(2)系统的零点,极点,
系统的冲激响应 ;
(3)系统的零点,极点,
系统的冲激响应。
3-12 已知连续时间系统的单位冲激响应,求系统的系统函数、描述系统的微分方程,并判断系统是否稳定。
(1);
(2);
(3);
(4)。
解:(1) ; ;
系统的极点p=-1,稳定
(2) ; ;
系统的极点p=0,-1,不稳定
(3) ; ;
系统的极点p1,2=-1,稳定
(4) ; ;
系统的极点p=-1,-2,稳定
3-13 已知连续时间系统的系统函数,求系统的冲激响应、描述系统的微分方程,并判断系统是否稳定。
(1);
(2);
(3);
(4)。
解:(1) ; ;稳定
(2)
; ;稳定
(3)
; ;稳定
(4)
; ;稳定
3-14 已知系统微分方程为,求该系统的频率响应。
解:
3-15 已知某LTI系统的频率响应为,输入信号为,求系统的零状态响应。
解:输入信号的傅里叶变换,
则
求傅里叶反变换得零状态响应,。
3-16已知某LTI系统的频率响应为,当输入信号为阶跃信号时,求系统的零状态响应。
解:当输入信号为阶跃信号时,
系统的零输入响应,。
3-17已知某LTI系统的频率响应为,输入信号为,试求响应,示意画出与的波形,讨论经传输产生的失真问题。
解:
该系统是一个低通滤波器。从输出信号看,该滤波器不但改变了输入信号中每个频率分量的幅度,也改变了各频率分量的相位。
3-18已知某LTI系统的频率响应为,输入信号为,求该系统的响应。
解:输入信号进行傅里
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