《偏微分方程教程》第六章 椭圆型方程.ppt

§1 调和函数 《偏微分方程教程》第六章 椭圆型方程 §1 调和函数 * * 【知识点提示】 Green公式，基本解，调和函数，调和函数的基本性质。 【重、难点提示】 利用Green公式导出基本积分公式，进而研究调和函数的 基本性质。 【教学目的】 掌握调和函数的定义和性质。 1.1.　Green公式 散度定理： 设 是 维空间中以足够光滑的曲面 所围成的 有界连通区域, 是曲面的外单位法向. 若函数 在闭区域 上连续, 在 内有一阶的连续偏 导数, 则 (1.1) 其中 表示曲面 的外单位法向 与 轴的方向余弦, 是 上的面积元素. Green公式的推导： 设函数 和 在 内有连续的二阶 偏导数. 在公式(1.1)中令 得到 (1.2) (1.2)可改写成为 (1.3) 若将(1.3)中的 和 互相对换,又得 (1.4) 我们把(1.3)与(1.4)都称作第一Green公式. 若将(1.3)与(1.4)相减,则得 (1.5) 我们把(1.5)称为第二Green公式. 1.2. 调和函数与基本解 定义 6.1 对于函数 ,如果它在 维空间 的有 界区域 内有直到二阶的连续偏导数,且在 内满足Laplace方程： (1.6) 则称 在区域 内是调和函数. 如果 , 则称 在区域 内是下调和(上调和)函数. 如果 是无界区域,则除上面的要求外,还应要求当点 趋于无穷远时, 函数 一致趋于零.即对于任意小的正数 ,存在正数 ,使当点 与坐标原点的距离 时, 总有 按照这个定义,有时我们把Laplace方程(1.6)也称作调和方程. 调和方程的基本解 我们仅考虑三维空间和二维空间的情形. 首先我们考虑三维的情形. 用 表示三维空间中的点 改写 三维空间的调和方程 为球坐标形式. 设球坐标变换为 则(1.6)(取 )可化为 (1.7) 由(1.7)可以看出,方程(1.6)的球对称解是满足以 为自变量的 常微分方程 其通解可写为 这里 是任意常数. 所以函数 , 是一个球对称特解, 从而推得 在任一不包含点 的区域内是调和的, 它在点 处有奇性. 称函数 为三维Laplace方程(1.6)的基本解 注 基本解在 时关于 或 都是调和 且无穷次可微. 函数 其次, 考虑二维Laplace方程 在极坐标变换 下它可化为 (1.8) 二维Laplace方程的基本解 定理 6.1 设函数 在有界区域 内二阶连续可微, 在 上连续且有连续的一阶偏导数, 则当点 时, 有 (1.9) 其中 是边界曲面 的外单位法向, 是曲面 上的面积单元, 是体积单元. 证 以 为中心 为半径作球 使 表示该球的球面, 于是在区域 上,函数 和 都满足第二Green公式的条件, 代入公式(1.5)得 (1.10) 因为 在区域 内是调和函数, 所以有 . 另外边界 上任一点的外法线方向实际上是从该点沿着半径指向球心 的方向, 所以在 上有 从而得到在 上的积分为 其中 和 分别是函数 和 在 球面 上的平均值.于是(1.10) 可写成 因为 及 在 上连续，所以 关于 一致有界, 且当 时,有 , 于是由上式即得 定理证毕. 今后, 我们将公式(1.9)称为三维空间中的基本积分公式. 定理 6.2 设函数 在有界区域 内二阶连续可微， 在 上连续且有连续的一阶偏导数，则当点 时有 (1.11) 其中 表示 上的线元素, 是 上的面积元素. 1.3. 调和函数的基本性质 性质 6.1 设 是有界区域 内的调和函数, 且在 上有连续的一阶偏导数,则 (1.12) 证 利用第二Green公式,在(1.5)中取 ,取 为所给的调和 函数, 由此性质可得出, Laplace方程的第二边 就可得到(1.12). 值问题 有解的必要条件是函数 满足 性质 6.2 设 是有界区域 内的调和函数,且在闭区域 上有连续的一阶偏导数,则在 内的任一点 处有 (1.13) 证 利用基本积分公式(1.9)即得. 类似地,对于二维空间的情形,我们可以利用(1.11)得到 (1.14) 其中 是平面上有界区域 的边界. 性质 6.3 (平均值定理) 设 是区域 内的调和函数, 是 内的 任一点以, 为心 为半径作球 只要球 连同其边界 包含在 内,则有公式 (1.15) 证 将公式(1