概率论与数理统计 第五章 大数定律与中心极限定理 第二节 中心极限定理.pptVIP

第二节 中心极限定理 大数定律与中心极限定理 一、中心极限定理的意义 在实际问题中许多随机变量是由相互独立随机因素的综合（或和)影响所形成的. 例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的.每个随机因素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的.那么弹着点服从怎样分布哪 ？ 一、中心极限定理的意义 如果一个随机变量是由大量相互独立的随机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种综合影响中所起的作用不大. 则这种随机变量一般都服从或近似服从正态分布. 自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见. 现在我们就来研究独立随机变量之和所特有的规律性问题. 高斯 当n无限增大时，这个和的极限分布是什么呢？ 一、中心极限定理的意义 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量. 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理. 二、中心极限定理的内容 定理5（李雅普诺夫(Liapounov)定理) 二、中心极限定理的内容 请注意 : 二、中心极限定理的内容 定理6(林德贝尔格－勒维（Lindeberg-Levy）定理） 二、中心极限定理的内容 3、虽然在一般情况下，我们很难求出 的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布. 二、中心极限定理的内容 二、中心极限定理的内容 二、中心极限定理的内容 练习 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率. 由题给条件知，诸Xi独立， 16只元件的寿命的总和为 且E(Xi)=100, D(Xi)=10000 设第i只元件的寿命为Xi , i=1,2, …,16 解： 依题意，所求为P(Y>1920). E(Y)=1600, D(Y)=160000 由中心极限定理, 近似N(0,1) P(Y>1920)=1-P(Y?1920) =1-?(0.8) ?1- =1-0.7881=0.2119 练习 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布. 现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的. 求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率. 二、中心极限定理的内容 二、中心极限定理的内容 定理3(棣莫佛－拉普拉斯（De Laplace）定理） 二项分布的极限分布是正态分布 二、中心极限定理的内容 即如果 ，则 二、中心极限定理的内容 二、中心极限定理的内容 二、中心极限定理的内容 练习 (供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦. 问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产? 二、中心极限定理的内容 解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验 是观察该台车床在某时刻是否工作, 工作的概率0.6,共进行200次独立重复试验. 用X表示在某时刻工作着的车床数， 依题意， X~B(200,0.6), 现在的问题是： P(X≤N)≥0.999 的最小的N. 求满足 设需N台车床工作， （由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N台工作所需电力即N千瓦.） 二、中心极限定理的内容 由德莫佛-拉普拉斯极限定理 近似N(0,1), 于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N) 这里 np=120, np(1-p)=48 由3σ准则， 此项为0。 二、中心极限定理的内容 从中解得N≥141.5, 即所求N=142. 也就是说, 应供应142 千瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产. ≥ 3.1, 故 查正态分布函数表得 二、中心极限定理的内容