2009年浙江省高等数学(微积分)文专组竞赛试题评析.pdf

呈QQ望年浙江省高笠数学(微毯勉 文童组竞赛试要迁栖 浙江葛喜芳陈君 2009年浙江省高等数学(微积分)竞赛文专组试题结构严格执行《浙江 々窘一。搿^-}^·荨t 省大学生数学竞赛(微积分)大纲》的规定和要求，内容涉及到大学专科《微 刍一c{时．窘t。． 积分》或《高等数学》课程所涵盖的各知识点，包括极限与连续、导数及其 乌5‘f‘坚时．12，0． 应用和积分及其应用。以单变量内容为主，较全面地考查了学生的微积分 ’坚‘，《，H．磐<0． 基础知识、方法和技能。 因此拐点为(1，0)，(一1，0)。 试卷考点分布如下：第一大题重点考查了用定积分的定义求函数极 评注：考查了学生对参数函数的高阶导数求导的运用。参数函数的二 限(第l小题)、不定积分的凑微分法(第2小题)、导数运算法则求导数值(第阶导数等于参数函数的一阶导数对参数求导再乘以参数t对自变量x求 3小题)、参数方程确定的函数求导(第4小题)，同时也考查了学生对所学导的导数。 知识应用于实际的能力(第5小题求旋转体的体积)；第二大题考察导数的 单调性应用；第三大题的证明题考查了积分中值定理和Rolle定理；第四、 解析：本题通过观察，发现条件中的极限是幂指结构未定型，自然想到 五、六大题重点考查了导数的其他应用，体现了学生对知识的理解、灵活 要利用复合函数的极限法则得到幂指函数的极限： 运用程度，以及考虑问题的全面性和对问题的等价转化能力等等。 limlf(x)p”=lime酬恍el“啡Ⅱ。“纠l。 本次竞赛的成绩，能较真实地反映选手们的数学思维能力、逻辑思维 因此lim【矿+。z+h，1．。慧型号坐，对指数位置利用洛必达法则得到 。“ 能力以及处事的严谨性和有序性。通过竞赛，提高学生的抽象思维能力、 。烹坠笋一。戛i=端 逻辑推理能力和运算能力，使学生能运用基本概念、基本理论和基本方法 即b=一I。继续利用洛必达法则 正确地推理证明和计算，能综合运用所学知识分析并解决简单的实际问 l PH．2。‘‘。‘氍’一¨I，～Im一‘'*一2“-m1．。暑而差鼍网。。半P—m‘+一。=，+jlp+24lF’ 题。本文就一些典型题目进行如下评析，供对数学微积分竞赛和专升本考 可得到a_一：I。 试有兴趣和需求的学生参考。 。 ；． 评注：本题难度适中，类似于05gg--大题的g3题磐f鱼竽1 例1(第一大题第l题)求极限：I+m。_"7锄i 和08年第一大题的第l题-孳f尘!；垡_广‘。考查了学生对幂指函数的极 解析：本题与08年的第二大题有异曲同工之妙，但相比而言，由于题 限转换和洛必达法则的运用程度。 型直接给出了求和的符号，思路上就不会进入误区。对于初等要求的数学 例6(第二大题)设f(o)--o，0<f’(x)<1．证明： 学习者而言。数列极限的方法不外乎为：利用“单调有界函数必有极限”处 当x>0时，(I．f(t)dt)2≥l，f3(t)dt。 理和夹逼准则(2005年浙江省高等数学微积分竞赛文专组第五大题)。本题 (第五大题)设Fm=1．1tl(1—2tc∞x+t2)dx，证明： (1)F(t)为偶函数；(2)F(O=2F(t)。 中的和的极限!鲤∑，sin詈-烛：∑÷5in詈即为函数f(x)=xsin"zx在区间【o