八年级数学下册5.1矩形(第1课时)例题选讲课件(新版)浙教版.ppt

* 第5章 特殊平行四边形 5.1 矩形（第1课时） 矩形的性质 例1 如图，已知矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F是对角线BD上的两点，且BF=DE. （1）按边分类，△AOB是 三角形； （2）猜想线段AE，CF的大小关系， 并证明你的猜想. 分析：（1）由矩形的性质可得OA=OB=OC=OD； （2）若猜想AE=CF，则可以证明这两条线段所在的两个三角形全等，即△ADE≌△CBF，也可以证明AE，CF所在的四边形AECF是平行四边形. 解：（1）等腰 （2）AE=CF 证明：如图，连结AF，CE. 由四边形ABCD是矩形，得OA=OC，OB=OD. ∵DE=BF，∴OE=OF. ∴四边形AECF是平行四边形，∴AE=CF. 注意点：证明两条线段相等的方法有很多，通常的思路是：（1）当两条线段位于一个三角形中时，可以借助于“等角对等边”来证明；（2）两条线段不在一个三角形中时，可以借助于两三角形全等来证明；（3）当两条线段是一个四边形的两条对边时，可以借助于证明这个四边形是平行四边形来证明等. 变式：如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E， 若∠CAE=15°，求∠BOE的度数. 答案：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BAD=90°，AC=BD，AO=CO= AC， BO=DO= BD. ∴AO=BO. ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE= ∠BAD=45°. 又∵∠CAE=15°， ∴∠BAO=∠BAE+∠CAE=60°. ∴△AOB是等边三角形，∴OB=AB，∠ABO=60°. ∴∠OBE=∠ABC-∠ABO=90°-60°=30°. ∵∠BEA=90°-∠BAE=45°=∠BAE， ∴AB=BE. ∴OB=BE. ∴∠BOE= = =75°. 与矩形有关的折叠问题 例2 如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处. （1）求证：B′E=BF； （2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想 a，b，c之间的一种关系， 并给予说明. 分析：（1）可由∠B′FE=∠BFE=∠B′EF， 得B′E=B′F=BF； （2）由于B′E=BF=c，A′B′=AB=b，A′E=AE=a， 故由勾股定理可求得a，b，c之间的关系. 证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠BFE=∠B′EF. 由题意可得∠B′FE=∠BFE，B′F=BF，∴∠B′FE=∠B′EF，∴B′E=B′F=BF. （2）a2+b2=c2. 理由：∵∠A′=∠A=90°，∴B′E2=A′B′2+A′E2. 由（1）可知B′E=BF=c，由已知可知A′B′=AB=b，A′E=AE=a， ∴a2+b2=c2. 注意点：图中折叠矩形，则△B′FE是一个等腰三 角形，这一结论在解决折叠问题时有很重要的作用. 矩形的综合问题 例3 如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连结EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC． （1）求证：OE=OF； （2）若BC=2 ，求AB的长． 分析：（1）根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAC=∠FCO，然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，再根据全等三角形即可得证；（2）连结OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB． 证明：（1）在矩形ABCD中，AB∥CD ∴∠BAC=∠FCO， 在△AOE和△COF中， ∴△AOE≌△COF（AAS），∴OE=OF； （2）如图，连结OB，∵BE=BF，OE=OF，∴BO⊥EF， ∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，∴∠BAC=∠ABO，又∵∠BEF=2∠BAC， 即2∠BAC+∠BAC=90°， 解得∠BAC=30°， ∵BC=2 ，∴AC=2BC=4 ， ∴AB= =6. AE＝CF， ∠BAC＝∠FCO， ∠AOE＝∠COF， 注意点：本题要结合基本图形，运用了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半；作辅助线并求出∠BAC=30°