教案--第四章矩阵的特征值要点.doc

物流学院 2015—2016学年度第 1 学期 线性代数 课堂教学方案 授课年级 2014 专业层次 会计学本科 授课班级 1、2、3、4班 授课教师 2015 年 8 月 28 日 《线性代数》教案 任课教师 授课班级 2014级会计学本科班 授课时间 教学时间安排 2学时 授课题目 （章节） 第四章 矩阵的特征值 第一节 向量的内积 教学目的、要求（教学目标） ⑴ 了解向量内积、正交的概念 ⑵ 掌握规范正交基的求法 教学重点 与难点 规范正交基的求法 教学方式、方法与手段 讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合 教学基本内容 及过程 问题导入：在第三章中，我们研究了向量的线性运算，并利用它讨论向量之间的线性关系，但尚未涉及到向量的度量性质. 在空间解析几何中，向量和的长度与夹角等度量性质可以通过两个向量的数量积 来表示，且在直角坐标系中，有 , . 本节中，我们要将数量积的概念推广到维向量空间中，引入内积的概念 内容要点 一、内积及其性质 定义1 设有维向量 令 称为向量与的内积.. 注：内积有时也记作. 内积是两个向量之间的一种运算, 其结果是一个实数, 按矩阵的记法可表示为 内积的运算性质 (其中,为维向量, (1) (2) (3) (4) ; 当且仅当时, . 二、向量的长度与性质 定义2 令 称为维向量的长度(或范数). 向量的长度具有下述性质: (1) 非负性 ;当且仅当时, ; (2) 齐次性 ; (3) 三角不等式 ; (4) 对任意维向量, 有 . 注: 若令 则性质(4)可表示为 上述不等式称为柯西—布涅可夫斯基不等式，它说明中任意两个向量的内积与它们长度之间的关系. 当时, 称为单位向量. 对中的任一非零向量, 向量是一个单位向量,因为 注: 用非零向量的长度去除向量,得到一个单位向量,这一过程通常称为把向量单位化. 当 定义 . 称为维向量与的夹角. 三、正交向量组 定义3 若两向量与的内积等于零，即 ， 则称向量与相互正交. 记作. 定义4 若维向量是一个非零向量组，且中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组. 定理1 若维向量是一组正交向量组，则线性无关. 四、规范正交基及其求法 定义5 设是一个向量空间， ① 若是向量空间的一个基，且是两两正交的向量组，则称是向量空间的正交基. ② 若是向量空间的一个基,两两正交, 且都是单位向量, 则称是向量空间的一个规范正交基(或标准正交基). 若是的一个规范正交基, 则中任一向量能由线性表示, 设表示式为 , 为求其中的系数可用左乘上式, 有 即 这就是向量在规范正交基中的坐标的计算公式.利用这个公式能方便地求得向量在规范正交基下的坐标为： 因此, 我们在给出向量空间的基时常常取规范正交基. 规范正交基的求法: 设是向量空间的一个基,要求的一个规范正交基, 也就是要找一组两两正交的单位向量,使与等价. 这样一个问题,称为把这个基规范正交化，可按如下两个步骤进行： (1) 正交化 容易验证两两正交,且与等价. 注: 上述过程称为施密特(Schimidt)正交化过程. 它满足对任何, 向量组与等价. (2) 单位化: 取 则是的一个规范正交基. 注： 施密特(Schimidt)正交化过程可将中的任一组线性无关的向量组化为与之等价的正交组；再经过单位化，得到一组与等价的规范正交组 五、正交矩阵与正交变换 定义6 若阶方阵满足 (即), 则称为正交矩阵, 简称正交阵. 定理2 为正交矩阵的充分必要条件是的列向量都是单位正交向量组. 定义7 若为正交矩阵,则线性变换称为正交变换. 正交变换的性质：正交变换保持向量的长度和内积不变. 例题选讲 例1 设 试用施密特正交化方法, 将向量组正交规范化. 例2 已知三维向量空间中两个向量 正交，试求使， 构成三维空间的一个正交基. 例3 判别下列矩形是否为正交阵. 理论讲解45分钟，习题选讲25分钟，练习、答疑20分钟 注: 若, 则与任何向量都正交.