现代控制理论--刘豹第1章要素.ppt

7 1 j 1 T=(P。，P2， …，P。) (1．47) ／ 证明如下： ‘ 1)由于特征值A。，A：，…，A。互异，故特征矢量P。，P：，…，P。线性无关，从而 由它们构成的矩阵T=(P。P： …P。)必为非奇异，即F一存在，从而可将： Tz=ATz+Bu 两边乘F～，有： 1 1.8 时变系统和非线性系统的状态空间表达式 1.8.1线性时变系统 以上讨论的只是定常系统，其特征是它的状态空间表达式中的A、B、C、 D等矩阵的元素既不依赖于输入、输出，也与时间无关。 线性时变系统有： 它们的元素有些或全部是时间t的函数。 线性时变系统的状态空间表达式为： （81） 从高阶线性时变微分方程推演出状态空间表达式的方法，类似于前述线 性定常系统。 1.8.2 非线性系统 非线性的动态特性是用如下的n个一阶微分方程组描述的： 用矢量矩阵表示，则为： （83） 式中， 为矢量函数； 为 的元素。 如果式(82)或式(83)中不显含时间t，则为时不变非线性系统，而为： （84） 设 是满足非线性方程式(84)的一组解，即 （85） 如果我们只局限于考察输入 偏离 为 时，对应于它， 也 偏离 也偏离 时的行为，则可以通过对系统的一次近 似而予以线性化。为此，将 附近作泰勒级数展开： （86） 它们分别是n×n，n x r，m x n，，n x r维矩阵，其相应定义如下： 忽略仪 高次项，考虑到式(85)，则式(86)的线性 化表达式为： 令 并在式(87)中将 这些微增量分别用 表示，则线 性化后的表达式就成了一般线性表达式了，即 本章完 （34） 或记为： 1.4.3 多输入一多输出系统微分方程的实现 一双输入一双输出的三阶系统为例，设系统的微积分方程为： （35） 同单输入一单输出系统一样，式(35)系统的实现也是非唯一的。现采用 模拟结构图的方法，按高阶导数项求解： 对每一个方程积分： 故得模拟结构图，如下图所示： 取每个积分器的输出为一个状态变量，如上图所示。则式（35）的一种 实现为： 或表示为： （36） 1.5 状态矢量的线性变换(坐标变换) 1.5.1 系统状态空间表达式的非唯一性 对于一个给定的定常系统，可以选取许多种状态变量，相应地有许多种 状态空间表达式描述同一系统，也就是说系统可以有多种结构形式。所选取的 状态矢量之间，实际上是一种矢量的线性变换(或称坐标变换)。 设给定系统为： （37） 我们总可以找到任意一个非奇异矩阵 将原状态矢量 作线性变换， 得到另一状态矢量 设变换关系为： 即 代入式（37），得到新的状态空间表达式： （38） 1.5.2 系统特征值的不变性及系统的不变量 1.系统特征值 系统 系统特征值就是系统矩阵 的特征值，也即特征方程： （43） 的根。 方阵A且有n个特征值；实际物理系统中， 为实数方阵， 故特征值或为实数，或为成对共轭复数；如 为实对称方阵，则其特征值都 是实数。 2．系统的不变量与特征值的不变性 同一系统，经非奇异变换后，得： 其特征方程为： （44） 式(43)与式(44)形式虽然不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。可以证明如下： 将特征方程写成多项式形式 由于特征 值全由特征多项式的系数 唯一确定，而特征值 经非奇异变换是不变的，那么这些系统 也是不变 的量。所以称特征多项式的系数为系统的不变量。 3．特征矢量 一个 维矢量 ：经过以 作为变换阵的变换，得到一个新的矢量 即 如果此 即矢量 ，经 线性变