《信号与系统》(第二版) 第3章.ppt

第3章　连续信号与系统的频域分析 利用三角函数的边角关系， 还可以将一般三角形式化为标准的三角形式 两种三角形式系数的关系为 例1 已知周期信号f(t)如下， 画出其频谱图。 3.1.2 指数形式的傅里叶级数 我们可以将三角形式的傅里叶级数表示为复指数形式的傅里叶级数 令c0=F0代入上式， 并将两个和式合并得到 其中系数 F(nω0)是复常数， 通常简写为Fn。 Fn还可以表示成模和幅角的形式 指数形式与三角形式系数之间的关系为 例1的指数形式频谱图如下图所示。 3.2 非周期信号的频谱——傅里叶变换 3.2.1 从傅里叶级数到傅里叶变换 若将非周期信号看作是周期信号T→∞的极限情况， 非周期信号就可以表示为 以周期矩形脉冲为例， 当T→∞时， 周期信号就变成单脉冲信号的非周期信号。 随着T的增大， 离散谱线间隔ω0就变窄； 当T→∞， ω0→0， |Fn|→0时， 离散谱就变成了连续谱。 虽然|Fn|→0， 但其频谱分布规律依然存在， 它们之间的相对值仍有差别。 为了表明这种振幅、 相位随频率变化的相对关系， 我们引入频谱密度函数。 已知周期函数的傅里叶级数为 式中, |F(ω)|是振幅谱密度函数， 简称振幅谱； φ(ω)是相位谱密度函数， 简称相位谱。 一般把式(3.2-1)与式(3.2-2)叫做傅里叶变换对， 其中式(3.2-1)为傅里叶变换， 式(3.2-2)为傅里叶反变换。 傅里叶变换对关系也常用下述符号表示 傅里叶变换也简称傅氏变换， 用英文缩写FT或F表示； 傅里叶反变换用英文缩写IFT或F-1表示。 若f(t)为因果信号， 则傅里叶变换式为 上式表示F(jω)与f(t)具有一一对应关系， F(jω)是f(t)的频谱密度函数， 而f(t)是F(jω)的原函数。 特别有 由傅里叶变换的推导过程表明， 信号傅里叶变换存在的条件与傅氏级数存在条件基本相同， 不同之处是时间范围由一个周期变为无限区间。 傅里叶变换存在的充分条件是无限区间内函数绝对可积， 即 3.2.3 常用函数的傅里叶变换对 1. 单边指数函数 (1) 单边因果指数函数 （2） 单边非因果指数函数 2. 双边指数函数 f(t)=e-a|t| -∞<t<∞, a>0 或 f(t)=eatu(-t)+e-at u(t) ? 利用以上单边指数函数的变换结果我们有 3. 符号函数 符号函数也称正负函数， 记为sgn(t)， 表示式为 上式是两个单边指数函数的组合， 利用前面的结果， 并取极限可得 4. 矩形脉冲信号gτ(t) gτ(t)是宽度为τ， 幅度为1的偶函数， 常常也被称为门函数， 表示式为 门函数的频谱函数、 振幅谱、 相位谱为 门函数的波形f(t)、 振幅谱|F(jω)|、 相位谱φ(ω)如图所示。 由于F(ω)是实函数， 其相位谱只有0、 π两种情况， 反映在F(ω)上是正、 负的变化, 因此其振幅、 相位谱如图3.3-6所示, 可由F(ω)来表示。 由图3.3-4可见， 门函数在时域中是时宽有限的信号， 而它的频谱是按 的规律变化、无限频宽的频谱。 但是信号主要能量集中在频谱函数的第一个零点之内， 所以通常定义它的频带宽度为 5. 冲激函数 时域冲激函数δ(t)的变换可由定义直接得到 频域冲激δ(ω)的原函数亦可由定义直接得到 6. 阶跃函数u(t) 阶跃函数虽不满足绝对可积条件， 但u(t)可以表示为 3.3 傅里叶变换性质及定理 1. 线性 若f1(t)←→F1(ω), f2(t)←→F2(ω)， 则 af1(t)+bf2(t) ←→ aF1(ω)+bF2(ω) (3.3-1) 式中, a、 b为任意常数。 证 2. 时延（时移、 移位）性 若f(t)←→F(ω)， 则 例3.3-1 求如图3.3-1所示信号f1(t)的频谱函