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高一数学培优材料七 三角函数的图象与性质 一、选择题 1.函数y＝cos（2x＋）的图象的一条对称轴方程是 A.x＝－B.x＝－ C.x＝D.x＝π 2.函数f（x）＝tanωx（ω＞0）的图象的相邻的两支截直线y＝所得线段长为，则f（）的值是 A.0B.1C.－1D. 3.如果两个函数的图象平移后能够重合，那么称这两个函数为“互为生成”函数.给出下列四个函数： ①f（x）＝sinx＋cosx；②f（x）＝（sinx＋cosx）； ③f（x）＝sinx；④f（x）＝sinx＋. 其中为“互为生成”函数的是 A.①②B.②③ C.③④D.①④ 4.函数y＝－xcosx的部分图象是 5.下列函数中，周期为π，且在［，］上为减函数的是 A.y＝sin（2x＋）B.y＝cos（2x＋） C.y＝sin（x＋）D.y＝cos（x＋） 6.函数f（x）＝1－2sin2x＋2cosx的最小值和最大值分别为 A.－1，1B.－，－1 C.－，3D.－2， 7.函数y＝2cosx（x∈［0，2π］）的图象与直线y＝2围成的封闭图形的面积是 A.4B.8C.2πD.4π 二、填空题 8.函数y＝的定义域是_____. 9.设函数f（x）＝3sin（x＋），若存在这样的实数x1，x2，对任意的x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1－x2|的最小值为_____. 10.（2010江苏高考，10）设定义在区间（0，）上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为_____. 三、解答题 11.设函数f（x）＝sin（2x＋φ）（－π＜φ＜0），y＝f（x）的图象的一条对称轴是直线x＝. （1）求φ； （2）求函数y＝f（x）的单调递增区间. 12.是否存在实数a，使得函数y＝sin2x＋acosx＋a－在闭区间［0，］上的最大值是1?若存在，求出对应的a值；若不存在，请说明理由. ，k∈Z. 当k＝－1时，得对称轴方程为x＝－. 也可以利用对称轴必过最值点，从而采用代入法来解. 2.A 解析：由于函数f（x）＝tanωx的图象的相邻的两支截直线y＝所得的线段长为，所以该函数的周期T＝＝，因此ω＝4，函数解析式为f（x）＝tan4x， 所以f（）＝tan（4×）＝tanπ＝0. 3.D 解析：首先化简题中的四个解析式可得：①f（x）＝sin（x＋），②f（x）＝2sin（x＋），③f（x）＝sinx，④f（x）＝sinx＋.由于②、③与①④的振幅不同，所以要使它们的图象重合，还需要进行伸缩变换才行，显然④f（x）＝sinx＋的图象向左平移个单位，向下平移个单位即可得到①f（x）＝sin（x＋）的图象，所以①④为“互为生成”函数，故选D. 4.D 解析：因为函数y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A、C. 当x∈（0，）时，y＝－xcosx＜0，排除B. 5.A 解析：C、D两项中函数的周期都为2π，不合题意，排除C、D；B项中y＝cos（2x＋）＝－sin2x，该函数在［，］上为增函数，不合题意；A项中y＝sin（2x＋）＝cos2x，该函数符合题意. 6.C 解析：∵f（x）＝1－2sin2x＋2cosx ＝1－2（1－cos2x）＋2cosx＝2cos2x＋2cosx－1＝2（cosx＋）2－， 又∵x∈R，∴cosx∈［－1，1］. ∴当cosx＝－时，f（x）min＝－； 当cosx＝1时，f（x）max＝3. 7.D 解析：画出函数y＝2cosx（x∈［0，2π］）的图象，如图所示， 根据对称性可知，它与直线y＝2围成一个封闭图形的面积（阴影部分），其大小等于矩形的面积，即S＝2×2π＝4π. 二、填空题 8.（kπ－，kπ＋］（k∈Z） 解析：由1－tanx≥0，得tanx≤1， ∴kπ－＜x≤kπ＋（k∈Z）. 9.2 解析：函数f（x）＝3sin（x＋）的周期T＝2π×＝4，f（x1），f（x2）应分别为函数f（x）的最小值和最大值，故|x1－x2|的最小值为＝2. 10. 解析：如图，由题意得：令6cosx＝5tanx， 即6cosx＝，6cos2x＝5sinx，6（1－sin2x）＝5sinx，6sin2x＋5sinx－6＝0， 得sinx＝，或sinx＝－（舍去）. 结合图象得：sinx＝P1P2＝. 三、解答题 11.解：（1）∵x=是函数y＝f（x）的图象的对称轴， ∴sin（2×＋φ）＝±1.∴＋φ＝kπ＋，k∈Z. ∴φ＝kπ＋，k∈Z. 又∵－π＜φ＜0，∴φ＝－. （2）由（1）知y＝sin（2x－）， 由题意得2kπ－≤2x－≤2