21 实际问题中导数的意义.DOC

2.1 实际问题中导数的意义 教学目标： 知识与技能： ⑴让学生掌握在实际生活中问题的求解方法 ⑵会利用导数求解最值 过程与方法： 通过分析具体实例，经历由实际问题抽象为数学问题的过程 情感、态度与价值观：让学生感悟由具体到抽象，由特殊到一般的思想方法 教学重点：函数建模过程 教学难点：函数建模过程 教学过程： 例4：（面积容积最大问题）请您设计一个帐篷，它下部的形状是高为的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为的正六棱锥（如图所示），试问当帐篷的顶点O到底面中心的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 思路点拨：设出项点O到底面中心的距离后，求出底面边长，表示帐篷的体积 解：设为，则 由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：） 于是底面正六边形的面积为（单位：） ，帐篷的体积为（单位：） 求导数，得 令，解得（不合题意，舍去）， 当时，，为增函数； 当时，，为减函数. 所以，当时，最大 答：当为时，帐篷的体积最大，最大体积为 方法技巧：设出一个变量后，其他变量都用这个变量表示，然后列出所求变量的函数式，再求最值，这是这类题目的常规解决。 例5：（用料最省问题）统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为 ，已知甲、乙两地相距100千米。 ⑴当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ ⑵当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 思路点拨：设出汽车的速度为千米/小时，然后表示出从甲地到乙地的耗油量 解：⑴当千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，要耗油（升） ⑵当速度为千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得 令，得 当时，，是减函数 当时，，是增函数 ∴当时，取得极小值 此时 （升） 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量少，最少为11.25升 方法技巧：正确表示出函数解析式，然后利用导数求最值，其中把实际问题转化为数学问题，正确列出解析式是解题的关键 例6：（费用量省问题）要设计一容积为V的有盖圆柱形储油罐盖，已知侧面积的单位面积造价是底面积造价的一半；而储油罐盖的单位面积造价又是侧面积造价的一半，问储油罐的半径和高之比为何值时造价最省？ 思路点拨：把圆柱的高用底面半径表示出来，然后把造价表示为的函数 解：由，得，设盖的单位面积造价为，则储油罐的造价为 由 解得，于是 由问题的实际意义，上述S的唯一可能极值点就是S的最小值点 ∴当 时，储油罐的造价最省 方法技巧：本题用半径把高表示出来，把实际问题转化为关于半径的函数问题是关键 例7：（利润最大问题）某商品每件成本9元，销售价30元，每星期卖出432件。如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值（单位：元）的平方成正比，已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件 ⑴将一个星期的商品销售利润表示成的函数； ⑵如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大 思路点拨：由时，多卖出的商品件数为24件，可求得正比例函数，进而表示出利润与的关系 解：⑴设商品降低元，多卖出的商品数为，若记商品在一个星期的获利为，则由题意 又由已知条件 得 ⑵由⑴知 当变化时，变化情况如下表： 2 12 － 0 + 0 － ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 故时，有极大值，又 所以定价为30－12＝18元，能使一个星期的商品销售利润最大 方法技巧：利润（收益）＝销售额－成本，在有前利润（收益）的问题中，注意应用此公式列函数式 例5：要设计一种圆柱形，容积为的一体化易拉罐金属包装，如何设计才使 体最低？ 解：设 法1： 法2： 令 例6：有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸边A处，乙与甲在同侧，乙厂位于离河岸的B处，乙厂到河岸垂足D与A相距，两厂要在岸边合建一个传水站C，从传水站到甲厂和乙厂水管费用分别是元和元，问传水站C建在岸边何处才能使费用最省？ 解：法1：设，， 　　　　　 令 法2：设， 作业 P87练习. P91习题4-2A组，3 5