3线弹性问题的有限单元法..ppt

第三章 线弹性问题的有限单元法 第一节 弹性力学基本方程 第二节 一维问题有限单元法简例 第三节 平面弹性问题的三角形常应变单元 第四节 平面弹性问题的矩形单元及等参元 第五节 轴对称问题的有限单元法（自学） 第六节 空间问题（自学） 主要内容 第一节 弹性力学基本方程 本节内容： 一、平衡微分方程 二、几何方程 三、物理方程 四、边界条件方程 五、虚功方程 尽管实际岩土体表现为弹性体的情形并不多见，但由于线弹性问题物理概念清晰，求解格式简单明了、编程方便，通过它可以看到有限单元法的基本原理、方法和特点。 非线性问题有限单元法都是在其基础上通过改变本构方程和非线方程组的求解而实现的。 弹性问题的基本量概述 已知弹性体被考查点的空间位置坐标x、y、z，可用列阵表示为 上标T表示转置。 已知变量 或者 弹性体空间任一点共有变量：15个 .任一点的6个应力分量，用列阵表示为 . 6个应变分量用列阵表示为 . 3个位移分量用列阵表示为 .作用在弹性体上的外力 体积力(简称体力): {P}=［Px，Py，Pz］T 面积力(简称面力): {p}=［px，py，pz］T 集中力: {F}=［Fx，Fy，Fz］T . 弹性体力学参数 E、μ 一、平衡微分方程 物体在外力作用下，其内部将产生应力。 从弹性体中取一微分平行六面体dxdydz 设该微分体受体力{P}=［Px，Py，Pz］T的作用。 根据对坐标轴力矩的平衡条件，可以得到剪力互等关系，即 τxy=τyx，τyz=τzy，τzx=τxz 简记为： L为微分算子 （2-3） 二、几何方程 几何方程是描述弹性体内任意点应变分量与位移分量的方程，在小变形的情况下，略去位移余数的高次幂，可得 令 几何方程的矩阵形式为 三、物理方程 物理方程是描述弹性体应力分量与应变分量之间转换关系的一组方程。对于各向同性线弹性材料，物理方程用广义虎克定律表示为： 令△= 写成矩阵形式： [D]称为弹性矩阵。它完全取决于材料的弹性模量和泊松比，也常表示成:  式中G，λ—拉梅常数， G—也称剪切弹性模量。 四、边界条件 边界条件(S)可分为： 位移边界条件(Su)和应力边界条件(Sσ) 且有 S=Su+Sσ 1.位移边界条件 表示为 {f}={f0} 在边界Su上 式中 {f}=［u v w］T {f0}=［u0 v0 w0］T P N 2.应力边界条件 由静力平衡条件导出 微元体PQRS的QRS面为弹性体边界，其上作用的面力{p}=［px py pz］T Q R S σy σx σz τxy τxz z x y QRS面外法线N的方向余弦l=cos(x，N)，m=cos(y，N)，n=cos(z，N)，则应力边界条件为： （2-12） 写成矩阵形式：［n］{σ}={P} 在边界Sσ上 五、虚功方程 虚位移指的是弹性体（或结构系）的附加的满足约束条件及连续条件的无限小可能位移。 所谓虚位移的“虚”字表示它可以与真实的受力结构的变形而产生的真实位移无关，而可能由于其它原因（如温度变化，或其它外力系，或是其它干扰）造成的满足位移约束、连续条件的几何可能位移。 对于虚位移要求是微小位移，即要求在产生虚位移过程中不改变原受力平衡体的力的作用方向与大小，亦即受力平衡体平衡状态不因产生虚位移而改变。 几个相关概念： 真实力在虚位移上做的功称为虚功。 作功的力与位移彼此独立无关，这种功称为虚功；在虚功中，力与位移分别属于同一体系的两种彼此独立无关的状态。 虚功与实际位移中的元功它们之间有着本质的区别。因为虚位移是假想的，不是真实位移，因此其虚功就不是真实的功，是假想的，它与实际位移无关；而实际位移中的元功是真实位移的功，它与物体运动的路径有关。这一点上学习时应当注意。 设有任一弹性体，在一定外力作用下处于平衡状态，如下图 面力{p}=［px py pz］T 体力{P}=［Px Py Pz］T 集中力{F}=［Fx Fy Fz］T z x y 弹性体中存在的实际位移分量为 {f}=［u v w］T 现在假想这些位移分量发生了位移边界条件所容许的微小改变（Variations），即所谓虚位移{f*}=［u* v * w*］T ,又称位移变分（Variations） 位移边界Su上的虚位移为u*=0，v*=0，w*=0； 虚位移引起的虚应变为 {ε*}=［ε*x ε*y ε*z γ*xy γ*xz γ