谢冉20151029公开课.ppt

第二节 平面向量的基本定理及坐标表示 基础梳理 1. 两个向量的夹角 (1)定义 已知两个 向量a和b,作OA=a,OB=b,则∠AOB=θ叫做向量a与b的夹角. (2)范围 向量夹角θ的范围是 ,a与b同向时,夹角θ= ;a与b反向时,夹角θ= . (3)向量垂直 如果向量a与b的夹角是 ,则a与b垂直,记作 . 2. 平面向量基本定理及坐标表示 (1)平面向量基本定理 定理:如果 是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任一向量a, 一对实数 ,使 . 其中, 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. (2)平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量正交分解. 0 存在唯一的 (3)平面向量的坐标表示 ①在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量e1,e2作为基底.对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数 ,使a=a1e1+a2e2.把有序数对 叫做向量a的坐标,记作a= ,其中 a1叫a在x轴上的坐标, a2 叫a在y轴上的坐标. ②设OA=xe1+ye2,则 就是终点A的坐标,即若OA=(x,y),则A点坐标为 ,反之亦成立(O是坐标原点). 3. 平面向量的坐标运算 (1)加法、减法、数乘运算 (2)向量坐标的求法 已知A ,B ,则AB ,即一个向量的坐标等于该向量 的坐标减去 的坐标. (3)平面向量共线的坐标表示 设a= ,b= ,其中b≠0,则a与b共线 向量 a b a+b a-b 坐标 题型一 平面向量基本定理 【例1】如图,在△OAB中,OC= OA,OD=1/2OB,AD与BC交于点M,设OA=a,OB=b,以a、b为基底表示OM. 分析 本题可用待定系数法,设OM=ma+nb(m,n∈R),再利用向量的运算及共线向量的条件列出方程组,确定m,n的值. 解 设OM=ma+nb(m,n∈R),则AM=OM-OA=(m-1)a+nb, 因为A,M,D三点共线,所以 ,即m+2n=1. 而 CB=OB-OC , 又因为C,M,B三点共线,所以 ,即4m+n=1. 由 ,解得 ,所以 学后反思 (1)在平面向量基本定理的应用中,当基底确定后,向量的表示是唯一的.合理地选取基底会给解题带来方便. (2)解决该类问题,用基底表示向量是基本方法,还应注意三角形法则、中点坐标公式的熟练应用. 举一反三 已知 =(1,2), =(-2,3),a=(-1,2),以 为基底将a分解为 的形式. 解析： 题型二 平面向量的坐标运算 【例2】已知点A(-1,2),B(2,8)以及 ,求点C、D的坐标和CD的坐标. 分析 根据题意可设出点C、D的坐标,然后利用已知的两个关系式列方程组,求出坐标. 解 设点C、D的坐标分别为 由题意得 因为 所以有 和 解得 和 所以点 C、D的坐标分别是(0,4),(-2,0),从而CD=(-2,-4). 学后反思 向量的坐标是向量的另一种表示形式,它只与起点、终点、相对位置有关,三者中给出任意两个,可求第三个.在求解时,应将向量坐标看作一个“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算,必须熟练掌握. 2. 已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且CM=3CA,CN=2CB,求M、N及MN的坐标. 举一反三 解析：∵A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4), ∴CA=(1,8),CB=(6,3), ∴CM=3CA=(3,24),CN=2CB=(12,6). 设M(x,y),则CM=(x+3,y+4)=(3,24), ∴ ∴ ∴M