《傅里叶变换公式.docVIP

第2章 信号分析 本章提要 ? 信号分类 ? 周期信号分析--傅里叶级数 ? 非周期信号分析--傅里叶变换 ? 脉冲函数及其性质 信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量 信号分析：从信号中提取有用信息的方法和手段 §2－1 信号的分类 ? 两大类：确定性信号，非确定性信号 确定性信号：给定条件下取值是确定的。 进一步分为：周期信号，非周期信号。 非确定性信号（随机信号）：给定条件下取值是不确定的 ? 按取值情况分类：模拟信号，离散信号 数字信号：属于离散信号，幅值离散，并用二进制表示。 ? 信号描述方法 时域描述 如简谐信号 频域描述 以信号的频率结构来描述信号的方法:将信号看成许多谐波（简谐信号）之和，每一个谐波称作该信号的一个频率成分，考察信号含有那些频率的谐波，以及各谐波的幅值和相角。 <page break> §2－2 周期信号与离散频谱 一、 周期信号傅里叶级数的三角函数形式 ? 周期信号时域表达式 T：周期。注意n的取值：周期信号“无始无终” # ? 傅里叶级数的三角函数展开式 （n=1, 2, 3，…） 傅立叶系数： 式中 Ｔ--周期；?0--基频, ?0=2?/T。 ? 三角函数展开式的另一种形式： 周期信号可以看作均值与一系列谐波之和--谐波分析法 ? 频谱图 ? 周期信号的频谱三个特点：离散性、谐波性、收敛性 ??例1：求周期性非对称周期方波的傅立叶级数并画出频谱图 解： 解： 信号的基频 傅里叶系数 n次谐波的幅值和相角 最后得傅立叶级数 频谱图 幅频谱图 相频谱图 二、 周期信号傅里叶级数的复指数形式 ? 欧拉公式 或 ? 傅立叶级数的复指数形式 ? 复数傅里叶系数的表达式 其中an，bn的计算公式与三角函数形式相同，只是n包括全部整数。 ? 一般cn是个复数。 因为an是n的偶函数，bn是n的奇函数，因此 # 即：实部相等，虚部相反，cn与c-n共轭。 ? cn的复指数形式 共轭性还可以表示为 ， 即：cn与c-n模相等，相角相反。 ? 傅立叶级数复指数也描述信号频率结构。它与三角函数形式的关系 对于n>0 （等于三角函数模的一半） （与三角函数形式中的相角相等） ?用cn画频谱：双边频谱 第一种：幅频谱图:|cn|-?，相频谱图:??n-?? 第二种：实谱频谱图:Recn-??，虚频谱图：Imcn-??；也就是an-?? 和-bn-?? . # <page break> §2－3 非周期信号与连续频谱 分两类： a.准周期信号 定义：由没有公共周期（频率）的周期信号组成 频谱特性：离散性，非谐波性 判断方法：周期分量的频率比（或周期比）不是有理数 b.瞬变非周期信号 几种瞬变非周期信号 数学描述：傅里叶变换 一、 傅里叶变换 演变思路：视作周期为无穷大的周期信号 式（2.22）借助（2.16）演变成： 定义x(t)的傅里叶变换X(ω) X(ω)的傅里叶反变换x(t): ? 傅里叶变换的频谱意义：一个非周期信号可以分解为角频率? 连续变化的无数谐波 的叠加。称X(?)其为函数x(t)的频谱密度函数。 ? 对应关系： X(?)描述了x(t)的频率结构 X(?)的指数形式为 ? 以频率 f (Hz)为自变量，因为f =w/(2p)，得 X( f )的指数形式 ? 频谱图 幅值频谱图和相位频谱图： 实频谱图ReX(ω)和虚频谱图Im(ω) 如果X(?)是实函数，可用一张X(?)图表示。负值理解为幅值为X(?)的绝对值，相角为或。 二、 傅里叶变换的主要性质 （一）叠加性 （二）对称性 （注意翻转） （三）时移性质 （幅值不变，相位随 f 改变±2?ft0） （四）频移性质 （注意两边正负号相反） （五）时间尺度改变特性 （六）微分性质 （七）卷积性质 （1）卷积定义 （2）卷积定理 三、 脉冲函数及其频谱 （一） 脉冲函数： 定义?函数（要通过函数值和面积两方面定义） 函数值： 脉冲强度（面积） （二）脉冲函数的样质 1． 脉冲函数的采性（相乘）样质： 函数值： 强度： 结论：1.结果是一个脉冲，脉冲强度是x(