(第09周实验九单源最短路径问题.docVIP

实验九 单源最短路径问题 一、实验目的 （1）了解最短路径问题的概念； （2）掌握最优子结构性质的证明方法； （3）掌握贪心法的设计思想并能熟练运用 （4）设计出解决单源最短路径问题的方案； （5）设计测试数据，写出程序文档。 　 二、实验环境 Windows XP以上版本的操作系统，Visual Studio 2010编程环境。 三、实验内容 ? ??1、问题描述 ? ? ?给定带权有向图G =(V,E)，其中每条边的权是非负实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在要计算从源到所有其他各顶点的最短路长度。这里路的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。 ? ? 2、Dijkstra算法 ? ? ?Dijkstra算法是解单源最短路径问题的贪心算法。? ? 其基本思想是，设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其他顶点之间的最短路径长度。 ? ? Dijkstra算法可描述如下，其中输入带权有向图是G=(V,E)，V={1,2,…，n}，顶点v是源。c是一个二维数组，c[i][j]表示边(i,j)的权。当(i,j)不属于E时，c[i][j]是一个大数。dist[i]表示当前从源到顶点i的最短特殊路径长度。在Dijkstra算法中做贪心选择时，实际上是考虑当S添加u之后，可能出现一条到顶点的新的特殊路，如果这条新特殊路是先经过老的S到达顶点u,然后从u经过一条边直接到达顶点i，则这种路的最短长度是dist[u]+c[u][i]。如果dist[u]+c[u][i]dist[i]，则需要更新dist[i]的值。步骤如下： ? ?(1) 用带权的邻接矩阵c来表示带权有向图, c[i][j]表示弧vi,vj上的权值。设S为已知最短路径的终点的集合,它的初始状态为空集。从源点v经过S到图上其余各点vi的当前最短路径长度的初值为：dist[i]=c[v][i], vi属于V.? ?(2) 选择vu, 使得dist[u]=Min{dist[i] | vi属于V-S},vj就是长度最短的最短路径的终点。令S=S U {u}. ? ?(3) 修改从v到集合V-S上任一顶点vi的当前最短路径长度:如果 dist[u]+c[u][j] dist[j] 则修改 dist[j]= dist[u]+c[u][j].?? ?(4) 重复操作(2),(3)共n-1次. 上面这个截图明显有问题，请修改代码，使得程序得出如下的运行结果。 然后再修改程序，使得程序运行出如下结果。