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习题一 复杂性分析初步 1. 试确定下述程序的执行步数，该函数实现一个m×n矩阵与一个n×p矩阵之间的乘法： 矩阵乘法运算 templateclass T void Mult(T **a, T **b, int m, int n, int p) {//m×n矩阵a与n×p矩阵b相成得到m×p矩阵c for(int i=0; im; i++) for(int j=0; jp; j++){ T sum=0; for(int k=0; kn; k++) Sum+=a[i][k]*b[k][j]; C[i][j]=sum; } } 其中 s/e 表示每次执行该语句所要执行的程序步数。 频率是指该语句总的执行次数。 2． 函数MinMax用来查找数组a[0:n-1]中的最大元素和最小元素，以下给出两个程序。令n为实例特征。试问：在各个程序中，a中元素之间的比较次数在最坏情况下各是多少？ 找最大最小元素 方法一 templateclass T bool MinMax(T a[], int n, int Min, int Max) {//寻找a[0:n-1]中的最小元素与最大元素 //如果数组中的元素数目小于1，则还回false if(n1) return false; Min=Max=0; //初始化 for(int i=1; in; i++){ if(a[Min]a[i]) Min=i; if(a[Max]a[i]) Max=i; } return true; } 最好，最坏，平均比较次数都是 2*（n-1） 找最大最小元素 方法二 templateclass T bool MinMax(T a[], int n, int Min, int Max) {//寻找a[0:n-1]中的最小元素与最大元素 //如果数组中的元素数目小于1，则还回false if(n1) return false; Min=Max=0; //初始化 for(int i=1; in; i++){ if(a[Min]a[i]) Min=i; else if(a[Max]a[i]) Max=i; } return true; } 最坏2*（n-1）， 最好 n-1, 平均 3.证明以下不等式不成立： 1). 2).； 4．证明：当且仅当时，。 5.下面那些规则是正确的？为什么？ 1).；错 2).；错 3).；错 4).；错 5).。错 6). 对 6. 按照渐进阶从低到高的顺序排列以下表达式: 顺序： 7. 1) 假设某算法在输入规模是时为. 在某台计算机上实现并完成该算法的时间是秒.现有另一台计算机,其运行速度为第一台的64倍, 那么,在这台计算机上用同一算法在秒内能解决规模为多大的问题? 规模 时间复杂度（步数） 原运行速度（时间/每步） 总时间 关系式为 时间复杂度（计算步数）*运行速度(时间/每步)=运行所需时间，即 解：设在新机器上秒内能解决规模为的问题，时间复杂度变为， 由于新机器运行速度提高64倍，则运行速度变为， 由关系式，得 ， 解得 2) 若上述算法改进后，新算法的计算复杂度为, 则在新机器上用秒时间能解决输入规模为多大的问题？ 设在新机器上用秒时间能解决输入规模为的问题，则 由于新复杂度 ，新机器的运行速度为， 代入关系式，得 ， 解得 3）若进一步改进算法，最新的算法的时间复杂度为 ，其余条件不变，在新机器上运行，在秒内能够解决输入规模为多大的问题？ 设可解决的最大时间复杂度为，则 可解决的最大时间复杂度为，（n为原始的输入规模）。 因为，且为常数不随输入规模n变化， 所以任意规模的n都可在t秒内解决。 8. Fibonacci数有递推关系： 试求出的表达式。 解：方法一： 当时，由递推公式得 特征方程为 解得 ， 则可设 由，，解得， 故， 当时，带入验证亦成立。 故 方法二： 也可直接推导 可得 可得 ， 设 ， 则为等比数列，先求出，然后代入即可求得。 5 语