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全国高中数学联赛模拟练习 一试 一．填空题（每小题８分，共64分） 1．的最大值是 _______． 2．3．,则的最大值为 ___________． 4．S(ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、CO为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为 ． 5.已知点在上在上的最小值，代数式的最小值为_____． 7. 掷6次令第次得到的数为若存在正整数使得的概率，其中是互质的正整数则= 都是正整数，且，则的个位数字是__________． 二．解答题（本大题共3小题，共56分） 9．是实数, 二次函数满足，求证：－1与1中至少有一个是的根． 10．(20分)为上在轴两侧的点，求过的切线与轴围成面积的最小值． 11. (20分)已知数列由确定, 若对于任意， 恒成立，求的最小值． 二试 1．(40分)△ABC具有下面性质：存在一个内部的点P使∠PAB＝10PBA＝20PCA＝30PAC＝40oABC是等腰三角形． 2.(40分) 设求证． 3. (50分)在平面上画一个9×9的方格表，每一小方格中任意填入＋1或－ 1．对任意一个小方格，将与它有一条公共边的所有小方格(不包含此格本身)中的数相乘，于是每取一格，就算出一个积．在所有小格都取遍后，再将这些积放入相应的小方格中，这称为一次变动．是否总可以经过有限次变动，使得所有小方格中的数都变为1？ 4．(50分)求出最小正整数n，使其恰有144个不同的正因数，且其中有10个连续整数.