Sun离散数学第1章命题逻辑(第1-7讲).ppt

信息学院 孙丽云 在自然语言中, 上述命题是没有意义的, 因为A和B毫无内在联系。 数理逻辑中, 我们关心的是复合命题与构成复合命题的各原子命题之间的真值关系, 即抽象的逻辑关系, 并不关心各语句的具体语义。 但“∧”联结的是两个命题，并不能见到“与”、“和”就用“∧”。例：“张三和李四是好朋友。”是简单命题。 思考 用尽可能多的方法证明： ((A→B)∨(C∧D)) ? ((?A∨B)∨?(?C∨?D)) 为永真式。 目前学到的真值表的用途： （1）判断两公式是否等价； （2） 判断公式的类型。 ……………… 前讲内容复习 公式蕴涵概念 基本蕴涵式 蕴涵式证明的三种方法 具体题目选择合适的证明方法 例： 证明P→Q ?(P∨R)→(Q∨R) 几对符号间的区别与联系： ?与?、 ?与=、 ?与? 1.４ 公式的等价 设A和B是任意两个命题公式，若对A,B的任何一个真值指派，A和B总是取得相同的真值（即A ? B为重言式），则称命题公式A和B是等价的，记作A ? B。 两命题公式是否等价，可通过真值表判断，若命题公式A和B的真值表是相同的，则命题公式A和B是等价的。 例：判断A ? B和(A ? B) ?(B ? A)是否等价。 基本等价式都可通过真值表进行验证。 基本等价公式 在命题逻辑中，经常会使用一些简单的等价式来完成较为复杂的等价式证明（等价演算），称这些简单的等价式为基本等价式或命题定律。 （P1３基本等值式记牢，非常重要！！！） 替换规则:设F(A)是含公式A的命题公式，F(B)是用命题公式B置换了F(A)中的A之后得到的命题公式，如果A?B，则F(A)?F(B)。 例： (P→Q)→(P∧R) ? (?P∨Q)→(P∧R) 等价演算 等价演算练习： 证明：(P∧(Q∨R))∨(P∧?Q∧?R) ? P 判断两命题公式是否等价 等价演算 真值表 证明： (P∧(Q∨R)) ∨(P∧?Q∧?R) ? P∧((Q∨R) ∨(?Q∧?R)) ? P∧((Q∨R) ∨?(Q∨R) ) ? P∧1 ? P 证明：(P∧(Q∨R))∨(P∧?Q∧?R) ? P 分配律 德·摩根定律 排中律 同一律 等值演算在计算机硬件设计、开关理论和电子元器件中都占据重要地位。 此题若用真值表法证明，需注意Q、R为后一个命题公式的哑元。见P11例1.4.1 等值演算举例 要求：将下图所示的逻辑电路简化 解：将上述逻辑电路写成命题公式： 或门 与门 等值演算应用举例 所以，该电路可简化为下图 ： 利用等值式将公式化简为： 等值演算应用举例 永真式：所有赋值均为成真赋值的公式，也称为重言式。 永假式：所有赋值均为成假赋值的公式，也称为矛盾式。 可满足式：至少有一组赋值是成真赋值的公式。 任何不是矛盾式的公式是可满足式。 例：分别用真值表法和等价演算方法判断下列命题公式的类型 (P?(Q?P))?R 永真式！ 公式的类型： 判别公式类型的两种方法：真值表法、等价演算 作业：P43 1、3、8 公式的类型 特别注意：?和?是两个完全不同的符号，具有不同含义。 ?是逻辑联结词，是命题公式的一个部分； ?不是逻辑联结词，不是命题公式的组成部分，而是用来表示两个命题公式之间的关系。 也要注意：=和?的区别。 设A、B是公式，则A?B等价于A ? B为永真式。 证明：因为A∨? A是永真式，根据代入规则可得上式也为永真式。 例：证明((P∨Q)→(P∧R))∨?((P∨Q)→(P∧R)) 为永真式。 代入规则 1.5 公式的蕴涵 设P，Q为两个命题公式，若P→Q是永真式，则称命题公式P蕴涵命题公式Q，记作P ? Q。 →和?是两个完全不同的符号，具有不同的含义。 → 是逻辑联结词，是命题公式的一个部分； ?不是逻辑联结词，不是命题公式的组成部分，而是用来表示两个命题公式之间的关系。 证明蕴涵式的三种方法： （都将蕴涵问题转化为求条件命题为永真的问题） 真值表法； 前件真推证后件真方法； 后件假推证前件假方法。 例：推证(P→Q) ∧(Q→R) ? P→R 定理：设P和Q为命题公式，P?Q的充要条件是P ? Q且Q ? P 。 基本蕴涵式见P18 真值表 T T T F F F F T T F T T P↑Q P Q 1、与非联结词（用↑表示） 1.6 联结词完备集 复合命题“P与Q的否定”称为命题P和Q的与非式复合命题，记作P↑Q。 二元运算符，P↑Q ??(P∧Q)。 真值表 T F F F F F F T T F T T P↓Q P Q 2、或非联结词（用↓表示） 1.6 联