2014届高考数学（理）一轮复习课件第34讲《数列求和》（人教A版）.ppt

A * 第34讲 数列求和 C B B 一　分组求和及并项求和 二　裂项相消法求和 三 错位相减法求和 1．(改编)已知数列{an}是公比为2的等比数列，若a1＝2，则＋＋…＋＝( ) A.(1－) B.(4n－1) C.(1－) D．1－ 解析：由条件知{}是首项为，公比为的等比数列，所以＋＋…＋＝＝(1－)，故选C. 2．数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S15＝( ) A．9 B．8 C．16 D．15 解析：S15＝1－2＋3－4＋…＋15＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋…＋(－14＋15)＝8，故选B. 3．数列1，3，5，7，…的前n项和Sn＝. 解析：Sn＝(1＋3＋5＋…＋2n－1)＋(＋＋…＋)＝n2＋1－. 4．数列{an}满足a1＝1，an＝，其前n项和为Sn，则Sn＝( ) A. B. C. D. 解析：an＝＝2(－)， 则Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an ＝2[(－)＋(－)＋…＋(－)] ＝2(1－)＝. 故选B. 5．数列1×，2×，3×，4×，…的前n项和为. 解析：S＝1×＋2×＋3×＋…＋n×， 2S＝1＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×， 两式相减得 S＝1＋＋＋…＋－n× ＝－n×＝2－. 6．求值：Sn＝C＋2C＋3C＋…＋nC. 解析：Sn＝C＋2C＋3C＋…＋(n－1)C＋nC， Sn＝nC＋(n－1)C＋(n－2)C＋…＋2C＋C ＝nC＋(n－1)C＋(n－2)C＋…＋2C＋C， ①＋得2Sn＝nC＋nC＋…＋nC ＝n(C＋C＋…＋C) ＝n·2n， 所以Sn＝n·2n－1. 【例1】求和： (1)Sn＝1＋(3＋4)＋(5＋6＋7)＋(7＋8＋9＋10)＋…＋(2n－1＋2n＋…＋3n－2)； (2)Sn＝12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2. 解析：(1)因为an＝(2n－1)＋2n＋(2n＋1)＋…＋(3n－2)＝＝n2－n， 所以Sn＝(12＋22＋32＋…＋n2)－(1＋2＋…＋n) ＝n(n＋1)(5n－2)(nN*)． (2)当n是偶数时， Sn＝(12－22)＋(32－42)＋…＋[(n－1)2－n2] ＝－3－7－…－(2n－1)＝. 当n是奇数时， Sn＝1＋(32－22)＋(52－42)＋…＋[n2－(n－1)2] ＝1＋5＋9＋…＋(2n－1)＝. 故Sn＝(－1)n－1(nN*)． 【拓展演练1】 (1)求值：(a－1)＋(a2－2)＋…＋(an－n)； (2)(2012·湖南省郴州第三次模拟)若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝( ) A．15 B．12 C．－12 D．－15 解析：(1)因为Sn＝(a－1)＋(a2－2)＋…＋(an－n) ＝(a＋a2＋…＋an)－(1＋2＋…＋n)． 当a＝1时，Sn＝n－＝. 当a≠1时，Sn＝－. 所以Sn＝. (2)因为an＝(－1)n(3n－2)，所以a1＋a2＋…＋a10＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝15.故选A. 【例2】(2012·黑龙江绥棱期末)函数f(x)＝x3，在等差数列{an}中，a3＝7，a1＋a2＋a3＝12，记Sn＝f()，令bn＝anSn，数列{}的前n项和为Tn. (1)求{an}的通项公式和Sn； (2)求证：Tn<. 解析：(1)设数列{an}的公差为d. 由a3＝a1＋2d＝7，a1＋a2＋a3＝3a1＋3d＝12， 解得a1＝1，d＝3，所以an＝3n－2. 因为f(x)＝x3，所以Sn＝f()＝an＋1＝3n＋1. (2)证明：因为bn＝anSn＝(3n－2)(3n＋1)， 所以＝＝(－)， Tn＝＋＋…＋ ＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)] ＝(1－)<. 【拓展演练】 (2012·北京市东城区第一学期期末)在等差数列{an}中，a1＝3，其前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项均为正数，b1＝1，公比为q，且b2＋S2＝12，q＝. (1)求an与bn； (2)证明：≤＋＋…＋<. 解析：(1)设数列{an}的公差为d， 则由，得， 解得q＝3或q＝－4(舍去)，d＝3， 故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3n－1. (2)因为Sn＝， 所以＝＝(－)， 故＋＋…＋ ＝[(1－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)] ＝(1－)． 因为n≥1，所以0<≤，于是≤1－<1， 所以≤(1－)<，即≤＋＋…＋<. 【例3】(2012·广东韶关市第一次调研)已知函数f(x)＝logx，且数列{f(an)}是首项为2，公差为2