第二讲—2—建模方法1.pdf

第二讲多体力学理论 一、基本概念 二、建模方法 三、求解技术 四、多体力学最新发展 二、建模方法 ? 坐标描述与约束方程： 1.绝对坐标法（笛卡尔坐标法或参考点坐标法） （Cartesian coordinates or reference point coordinates） 2.自然坐标法（完全笛卡尔坐标法）(natural coordinates or full coordinates) 多体系统动力学方程 1.动力学方程的三种基本形式 2.第二类Lagrange方程 3.第一类Lagrange方程（ Lagrange 乘子法） 4.多体系统动力学方程(DAE)的形成 1.绝对坐标法 ? 又称为笛卡尔坐标法或参考点 坐标法（Cartesian coordinates or reference point coordinates） ? 在每个刚体上都有一个固连的 坐标标架，该点在惯性坐标系 下的位置以及该坐标标架的方 位表示该刚体的位姿。 ? 连体坐标系相对于全局坐 标系的方位可用方向余弦 矩阵表示，也可用欧拉参 数或者欧拉角 ? 描述方法利用矢量的代数 表达 x ′ y ′ o ′ z ′r Pr Ps P o y x x z y z 矢量及其代数描述 矢量是指空间内从一个点到另一个点的有向线段，即具有大小也具有方向，其大小称为模， 以a表示。 a b a b+ a b a bi a b a b× b a× （b）矢量的和 (c)矢量的点积 (d)矢量的叉积 a 1e 2e 3e xa ya za （a）矢量的表示 三个正交的单位矢量 1 2 3, ,e e e 构成一个矢量空间，称为矢量基或者坐标系，三个正交的矢 量称为矢量基的基矢量或者坐标，它们具有下列性质： e e e e e α β αβ α β αβγ γ δ ε = × = i 其中 ( ) ( ) ( ) 1 , 1, 2,3 0αβ α β δ α β α β ≠??= =? =?? ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3αβγ α β γ ε α β γ α β γ ?+1 , , ? = ?1 , , =? ?0 ? 其他 符合右手定理 符合左手定理 ， ， ，， αβδ 称为克罗内克（Kronecker）符号，满足上述条件的矢量基的基矢量构成了坐标列 阵： [ ]1 2 3 Te e e e= 矢量及其代数描述 矢量可以表示坐标列阵的代数矢量形式： 1 2 3x y za a e a e a e= + + 矢量a由基矢量 1 2 3, ,e e e 唯一确定，在基矢量上的分量分别为 , ,x y za a a 。用矩阵符号表示 矢量a为： , , x T y x y z z a a a a a a a ? ? ? ? ? ?= =? ? ? ? ? ? ? ? 定义代数矢量a的相关反对称矩阵a为 0 , , , 0, , , 0 z y z x y x a a a a a a a ? ? ? ? ? = ?? ? ? ?? ? ? 矢量的代数运算： 点积：设矢量 , , T x y za a a a? ?= ? ? ， , , T x y zb b b b? ?= ? ? 则代数矢量的点积为： T x x y y z za b a b a b a b a b= + + =i 叉积：同样设 , , T x y za a a a? ?= ? ? ， , , T x y zb b b b? ?= ? ? ,则代数矢量的叉积为： y z z y z x x z x y y x a b a b a b ab a b a b a b a b ?? ? ? ? × = = ?? ? ? ??? ? 矢量及其代数描述 矢量与矩阵的微分 矢量 ( )a t 的代数矢量形式为： ( ) ( ) ( ) ( ), , Tx y za t a t a t a t? ?= ? ? 则矢量 ( )a t 对时间的导数为： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , , , T T x y z x y z d d d da t a t a t a t a t a t a t a t dt dt dt dt ? ? ? ?= = = ? ?? ?? ? 矩阵的微分： 设 [ ]1 2, ,..., T nq q q q= 为一个 n维的实变量矢量， ( )a q 是 q 的标量可微函数，而 ( ) ( ) ( ) ( )1 2, ,..., T mq q q qφ φ φ φ