求一个数的n次方根.doc

数值计算 探讨求解的几种方法 摘要 很多科学计算问题都遇到非线性方程的求解问题。设非线性方程为 方程的解称为方程的根或函数的零点。对于非线性方程的求解一般没有特殊公式，因此研究其数值解法是很有必要的，在此以求一个数的次方根为例探讨几种求近似根的常用方法，即二分法、牛顿迭代法、简化牛顿迭代法法以及割线法。 一、算法设计 计算机配置 内存：2G 处理器主频：2.53GHz MATLAB版本：R2011b 1.1二分法 设在区间上连续，，则内有方程的根。取的中点，将区间一分为二。若，则就是方程的根，否则判别根在的左侧还是右侧。 若，则，令； 若，则，令。 不论出现那种情况，均为新的有根区间，它的长度只有原有根区间长度的一半，达到了压缩有根区间的目的。 对压缩了的有根区间，又可施行同样的步骤，再次压缩有根区间。如此反复进行下去，即可得一系列有根区间套 由于每一区间都是前一区间的一半，因此区间的长度为 若每次二分时所取区间中点都不是根，则上述过程将无限的进行下去。当时，区间必将最终收缩为一点，显然就是所求之根。若取区间的中点作为的近似值，则有下述误差估计式 只要足够大（即区间二分次数足够多），的误差就可足够小。 值得注意的是，由于在偶重根附近曲线为向上凹或向下凹，即与的正负号相同，因此不能用二分法求偶重根。 1.2二分法MATLAB程序设计 1.3牛顿迭代法 设已知方程近似根，且在附近可用一阶泰勒多项式近似，表示为 当时，方程可用线性方程近似代替，即 解此线性方程得 取此作为原方程的新近似根，重复以上步骤，于是得迭代公式 此式称为牛顿迭代公式，其迭代函数为 当为单根时，，，故 不一定为0，根据定理3，牛顿迭代法在根的邻近是平方收敛的。 1.4牛顿迭代法MATLAB程序设计 1.5简化牛顿迭代法 在牛顿迭代公式中，用一常数代替，得 此式称为简化牛顿迭代公式，只要选择得当，该式子总是收敛的，不过其收敛速度降为线性。其几何意义可描述为用平行线代替牛顿法中的切线。 1.6简化牛顿迭代法MATLAB程序设计 1.7割线法 用常数来代替虽然简单，但没有充分利用本身的特性，因此收敛较慢，若在牛顿迭代公式中改用差商代替导数，得迭代公式 可以证明，它的收敛阶为，确实比简化牛顿迭代公式收敛快。连接曲线上的两点与，所得弦线与轴交点的横坐标即为由此式求出的。因此，称之为双点割线法。 为了使程序简单，也将上述迭代公式中的改为，即 每步迭代时只利用一个新点，这样的迭代格式称为单点割线法，然而它的收敛速度只是线性的。 1.8割线法MATLAB程序设计 二、数值试验 2.1二分法求解 2.1.1运行结果 ，精度为8；迭代次数为8；最终收敛值为1.7099758； 误差为；运行时间0.188549秒； 2.1.2收敛图 2.2牛顿迭代法求解 2.2.1运行结果 精度为8；迭代次数为4；最终收敛值为1.7099759； 误差为；运行时间0.000453秒； 2.2.2收敛图 2.3简化牛顿迭代法求解 2.3.1运行结果 精度为8；迭代次数为11；最终收敛值为1.7099761； 误差为；运行时间0.004333秒； 2.3.2收敛图 2.4割线法求解 2.4.1运行结果 精度为8；迭代次数为6；最终收敛值为1.7099759； 误差为；运行时间0.005842秒； 2.4.2收敛图 2.5计算结果比较 算法结果误差迭代次数函数值时间二分法1.70997588-1.4511e-060.188549牛顿迭代法1.709975941.1928e-120.000453简化牛顿迭代法1.7099761111.6605e-060.004333弦截法1.70997596-7.6488e-080.0058422.6计算结果分析 1、二分法相对于其他几种算法，收敛时间较长，即二分法是在大范围内收敛的。 2、牛顿迭代法收敛较快，精度高，误差小。 3、简化牛顿法的收敛也较快，迭代次数多，导致误差较大。 4、弦截法的收敛速度快，迭代次数少，误差最小，总体上较好。 三、参考文献 【1】曹德欣，曹璎珞，计算方法，中国矿业大学出版社，2001。 【2】王正盛，MATLAB与科学计算，国防工业出版社，2011。