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图论 算法 2007/06/11 主要内容 最短路径 AOV网 拓扑排序 关键路径 作业： 第一题 判断有向图回路 问题分析：如果图中存在回路，则必包含一个子图为回路。即该子图中所有顶点入度不为0且至少有边指向另外的顶点。 算法： 步骤1：按邻接表方式存储图。遍历与每个节点关联的边并统计每个节点的入度。需要O(n+m)次的运算。 步骤2：删除所有入度为零的顶点及其相发出的边。并将被删除边所指向的顶点的入度减1。 重复步骤二 直到： case1: 所有顶点被删除（则没有回路） 或 case2: 还有顶顶点但没有入度为零的顶点可删除（则存在回路）。 算法复杂度分析： 由于步骤二中的删除边的操作运算复杂度为O(m),删除节点的操作为O(n) 判断节点入度是否为0需要O(n+m)次运算。其中O(n)次为初始入度为零的节点,O(m)次为删除边后导致的入度为零的节点。 于是整个算法复杂度为O(m+n)。 作业： 第二题 判断无向图是否有回路 如果存在回路，则必存在一个子图，是一个环路。环路中所有顶点的度>=2。 算法： 第一步：删除所有度<=1的顶点及相关的边，并将另外与这些边相关的其它顶点的度减一。 第二步：将度数变为1的顶点排入队列，并从该队列中取出一个顶点重复步骤一。 如果最后还有未删除顶点，则存在环，否则没有环。 算法分析： 由于有m条边，n个顶点。如果m>=n，则根据图论知识可直接判断存在环路。 （证明：如果没有环路，则该图必然是k棵树 k>=1。根据树的性质，边的数目m = n-k。k>=1，所以：m<n） 如果m<n 则按照上面的算法每删除一个度为0的顶点操作一次（最多n次），或每删除一个度为1的顶点（同时删一条边）操作一次（最多m次）。这两种操作的总数不会超过m+n。由于m<n，所以算法复杂度为O(n) 作业中不少同学还给出了其它解决方法。 关于最小支生成树的prim算法 从一个顶点出发。 总是先拿当前所能看到的最小权重边相连的顶点进来。 重新审视周边的世界。并重复上一步。 带权图的最短路径 如果图中从一个顶点可以到达另一个顶点，则称这两个顶点间存在一条路径。从一个顶点到另一个顶点间可能存在多条路径，而每条路径上经过的边数并不一定相同。 如果图是一个带权图，则路径长度为路径上各边的权值的总和，两个顶点间路径长度最短的那条路径称为两个顶点间的最短路径，其路径长度称为最短路径长度。 Dijkstra算法 Dijkstra算法求解从顶点v0出发到其它各顶点的最短路径。 该算法按路径长度递增的次序产生最短路径。 该算法假设所有边的权都大于等于零。 问题分析： 基本思想 设置一个集合U，存放已求出最短路径的顶点，V-U是尚未确定最短路径的顶点集合。 每个顶点对应一个距离值，集合U中顶点的距离值是从顶点v0到该顶点的最短路径长度； 集合V-U中顶点的距离值是从顶点v0到该顶点的只包括集合U中顶点为中间顶点的最短路径长度。 初始状态： 集合U中只有顶点v0，顶点v0对应的距离值为0，集合V-U中顶点vi的距离值为边(v0, vi) (i=1,2,…,n-1)的权，如果v0和vi间无边直接相连，则vi的距离值为∞（实际程序中可以用一个足够大的数代替）。 处理步骤： （1）在集合V-U中选择距离值最小的顶点vmin加入集合U； （2）对集合V-U中各顶点的距离值进行修正：如果加入顶点vmin为中间顶点后，使v0到vi的距离值比原来的距离值更小，则修改vi的距离值。 （3）重复（1）（2）操作，直到从v0出发可以到达的所有顶点都在集合U中为止。 存储结构 到V0距离值的修正方法 如果加入顶点vmin为中间顶点后dist[i].length>dist[min].length+G.arcs[min][i]， 则将顶点vi的距离值改为：dist[min].length+G.arcs[min][i] 并修改路径上vi的前趋顶点： dist[i].prevex=min。 例子 初始状态 ①．初始时，集合U中只有顶点v0。 结果dist[n]为{{0, 0}, {50, 0}, {10, 0}, {MAX, -1}, {45, 0}, {MAX, -1} } ②．在集合V-U中找出距离值最小的顶点v2，将顶点v2加入集合U中。 结果dist[n]为{{0, 0}, {50, 0}, {10, 0}, {MAX, -1}, {45, 0}, {MAX, -1} } ③．按min=2调整集合V-U中顶点的距离值。 因为dist[1].legth=50，dist[2].length+graph.arcs[2][1