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第二章 圆锥曲线与方程 §2.1 椭 圆 知识梳理 1、椭圆及其标准方程 （1）.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点、的距离的和大于||这个条件不可忽视.若这个距离之和小于||，则这样的点不存在；若距离之和等于||，则动点的轨迹是线段. （2）.椭圆的标准方程： （＞＞0） （3）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在x轴上，反之，焦点在y轴上. 2、椭圆的简单几何性质（＞＞0）. （1）, 线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a和2b， (2).离心率： 0＜e＜1.e越接近于1时，椭圆越扁；反之，e越接近于0时，椭圆就越接近于圆. (3)椭圆的焦半径： ，.=+ (4).椭圆的在椭圆 (5).焦点三角形经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段、、2c，有关角结合起来，建立、等关系．面积公式： （6）与椭圆有相同的焦点的椭圆方程可设为： §2.1.1椭圆及其标准方程 典例剖析 题型一 椭圆的定义应用 例1： 评析： 点在椭圆上这个条件的转化常有两种方法：一是点椭圆的定义，二是点满足椭圆的方程，应该认真领会椭圆定义 题型二 椭圆标准方程的求法 例2：已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点，求椭圆的标准方程 解法1 因为椭圆的焦点在轴上，所以设它的标准方程为， 由椭圆的定义可知： 又所以所求的标准方程为 解法2 ，所以可设所求的方程为，将点代人解得： 所以所求的标准方程为 评析 求椭圆的标准方程总结有两种方法：其一是由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是先确定标准方程的类型，并将其用有关参数表示出来然后结合条件建立所满足的等式，求得的值，再代人方程 备选题 例3：设点P是圆上的任一点，定点D的坐标为（8，0），若点M满足．当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程． 解 设点M的坐标为，点P的坐标为，由， 得，即，． 因为点P在圆上，所以．即， 即，这就是动点M的轨迹方程． 评析 本题中的点M与点P相关，我们得到，是关键，利用点P在上的条件，进而便求得点M的轨迹方程，此法称为代人法． 点击双基 1、．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（C ） A. B. C. D. 2 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为，一个焦点是（3，0），则椭圆的标准方程为（B ） A B C D .与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为4的椭圆方程是(B ) A　翰林汇 4、椭圆的一个焦点是，那么 ________ 椭圆的焦点为，点是椭圆上的一个点，椭圆的方程 解：焦点为，可设椭圆方程为；点在椭圆上，，所以椭圆方程为已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点距离为D ） A B C D 2．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点，则椭圆方程是 （ D ） A． B． C． D． 3．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 （ D ） A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1） 4．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为，焦距为，则椭圆的方程为（C ） A． B． C．或 D．以上都不对 5．椭圆的两个焦点是F1(－1, 0), F2(1, 0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆方程是（　C　　 ）。 A ＋＝1 B ＋＝1 C ＋＝1 D ＋＝1的焦点坐标为（C ） A、 B、 C、 D、 7．已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是 (　C　　) （A）2 （B）6 （C）4 （D）12 8．设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P满足条件，则点P的轨迹是（A ） A．椭圆 B．线段 C．不存在 D．椭圆或线段 二 、填空题 9方程表示焦点在轴的椭圆时，实数的取值范围是_______ 10．与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为________． 11、如果M(x,y)在运动过程中，总满足关系式，则M的轨迹方程是