姜堰中学2010年高一数学竞赛选拔赛试题.doc

姜堰中学2010年高一数学竞赛选拔赛试题 命题人：凌彬 审核人：高一数学备课组 （）每小题7分，共70分与轴交于整点，则抛物线的对称轴方程为 答案： 〖〗轴交于整点，则有下列恒等式成立： ，取代入消去得：， 故由整数性质得，解之得；代入得，从而对称轴方程为． 2．某老师让四名学生每人各写一个实系数的一元二次方程，则所得的四个方程恰有两个无实数根 的概率为 答案： 〖〗即16种可能情况，其中有6种恰有两个无实数根，故概率为． 3．的前24位数字为；记为该24个数字的任意一个排列，则一定是的倍数． 答案：2 〖〗为完全平方数是自然数有个． 答案：3 〖〗时，都是完全平方数； 当时，，不可能是完全平方数；故只有3个． 5．代数式的最小值是 答案： 〖〗，则，整理得：（*）； 方程（*）看成关于的方程，由于为实数，所以方程（*）一定有实根， 从而，解得，而，所以． 6．在平面直角坐标系中，，当的周长最小时，的值是 答案：3 〖〗关于轴的对称点是，直线与轴的交点即为所求的点， 而直线的解析式是，故为即． 7．已知表示关于的一个四次函数，表示时的函数值；若， ，，则的值是 答案：42 〖〗，所以四次函数可设为； 由和可得，解之可得； 故，从而． 8．下列四个命题中，错误的命题是 ① 过直线上一点有且只有一条直线垂直于这条直线； ② 方程有两个不同的实数解； ③ 若⊙与⊙交于点，⊙的半径是5，，， 则⊙的半径是； ④ 若二次函数与坐标轴只有一个交点，则或． 答案：①③④ 〖〗①错：因为在空间，可以有无数条垂线； ②对：注意，两根为和； ③错：两个圆心可能在弦同侧，也可能在异侧，故应有两解； ④错：与轴一定有一个交点，当这个交点是原点时，；不是原点时，； 从而综合可得：． 9．已知为整数，关于的方程：有实数根，则的可能值有个． 答案：3 〖〗；而，所以， 即，因此的可能取值为1，2，3；共有3个． 10．一只盒子中有个红球，9个白球，个黑球，每个球除了颜色外都相同；若至少摸出17个球 时其中一定有5个红球，至少摸出17个球时其中一定有8个相同颜色的球，则如下代数式： 的值为 答案：2 〖〗，故； 若，则要摸出8个相同颜色的球，至少要摸的球的个数是： （式中意为：先让红白球多的各摸7个，黑的全摸出，再加1个红或白），这样至少要18个，不符题意，因而；于是； 故． 二、解答题（每题20分，共80分） 11．如图，是圆外一点，切圆于点，割线交圆于，于， 交于，若，，，试求圆的半径． 〖〗； 由， 得； 又因为； 所以； 从而四点共圆； 由相交弦定理可得：； 即有； 故圆的半径． 12．某电视台为了了解其中三个特色栏目的收视情况，向28位观众进行调查后得知： 每位观众至少收看了其中一个栏目；没有收看栏目的观众中，收看栏目的人数为收看栏目 的两倍；在收看栏目的观众中，只收看栏目的观众人数比除了收看栏目之外同时还 收看其他栏目的人数多1；只收看一个栏目的观众中，有一半没有收看栏目或，求栏目 的收视率． 〖〗的观众人数分别为；没有收看栏目而收看栏目和人 数为，不只收看栏目的有人，如图所示； 由题意可得： 由（1）式可得 把（2）、（3）、（5）代入（4）式中可得： 由（5）式知，即； 由（6）式得；而为整数，故综合可知：； 于是：； 故栏目的收视率为 13．设是满足不等式的实数，试证． 〖〗是轮换对称的，所以先考虑以为主元的情形： 不等式变形为：； 因此存在，使得；（*） 由于为实数，所以方程（*）必有解； 所以； 从而； 同理，以为主元可得：；以为主元可得：； 三式相加得：，原题得证． 14．已知是两个整数，关于的方程有两个相异的且大于的负实根， 求当的最小值时方程的两根． 〖〗的两个相异的负实根分别为，则有： ；易知；而是两个整数，故是两个正整数； 又设，则此抛物线开口向上，与轴有两个不同的交点， 并且当时，；所以： ； 因为，所以，从而，故的最小值是7； 当时，代入上述（1）和（2）中可得，从而原方程的两根分别为． 第5页 共5页