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因子分析(FactorAnalysis
因子分析(Factor Analysis )
JerryLead@ISCAS
csxulijie@
2011 年5 月11 日
1 问题
( )
之前我们考虑的训练数据中样例x 的个数m 都远远大于其特征个数n,这样不管是进
行回归、聚类等都没有太大的问题。然而当训练样例个数 m 太小,甚至 mn 的时候,使
用梯度下降法进行回归时,如果初值不同,得到的参数结果会有很大偏差(因为方程数小于
参数个数)。另外,如果使用多元高斯分布(Multivariate Gaussian distribution)对数据进行拟合
时,也会有问题。让我们来演算一下,看看会有什么问题:
多元高斯分布的参数估计公式如下:
1
( )
μ = ∑
=1
1
( ) ( )
Σ = ∑ ( − μ) ( − μ)
=1
( )
分别是求mean 和协方差的公式,x 表示样例,共有m 个,每个样例n 个特征,因此
μ是n 维向量,Σ是n*n 协方差矩阵。
| | −1
当mn 时,我们会发现Σ是奇异阵(Σ = 0 ),也就是说Σ 不存在,没办法拟合出多
元高斯分布了,确切的说是我们估计不出来Σ 。
如果我们仍然想用多元高斯分布来估计样本,那怎么办呢?
2 限制协方差矩阵
当没有足够的数据去估计Σ时,那么只能对模型参数进行一定假设,之前我们想估计出
完全的Σ (矩阵中的全部元素),现在我们假设Σ就是对角阵(各特征间相互独立),那么我
们只需要计算每个特征的方差即可,最后的Σ只有对角线上的元素不为0
1
( )
Σ = ∑( − )2
=1
回想我们之前讨论过的二维多元高斯分布的几何特性,在平面上的投影是个椭圆,中心
点由μ决定,椭圆的形状由Σ决定。Σ如果变成对角阵,就意味着椭圆的两个轴都和坐标轴平
行了。
如果我们想对Σ进一步限制的话,可以假设对角线上的元素都是等值的。
= 2
其中
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