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* * 一、同构映射的定义 二、同构的有关结论 §6.8 线性空间的同构 我们知道,在数域P上的n维线性空间V中取定一组基后, V中每一个向量 有唯一确定的坐标 向量的 坐标是P上的n元数组,因此属于Pn. 这样一来,取定了V的一组基 对于V中每一个 向量 ,令 在这组基下的坐标 与 对应,就 得到V到Pn的一个单射 反过来,对于 Pn 中的任一元素 是V中唯一确定的元素, 并且 即 也是满射. 因此, 是V到 Pn 的一一对应. 引 入 这个对应的重要必性表现在它与运算的关系上. 任取 设 则 归结为它们的坐标的运算. 这就是说,向量用坐标表示后,它们的运算可以 从而 一、同构映射的定义 设 都是数域P上的线性空间,如果映射 具有以下性质: 则称 的一个同构映射,并称线性空间 同构,记作 ii) iii) i) 为双射 为V的一组基,则前面V到Pn的一一对应 例1、V为数域P上的n维线性空间, 这里 为 在 基下的坐标, 就是一个V到Pn的同构映射,所以 1、数域P上任一n维线性空间都与Pn同构. 二、同构的有关结论 同构映射,则有 1) 2、设 是数域P上的线性空间, 的 2) 线性相关(线性无关). 3)V中向量组 线性相关(线性无关) 的充要条件是它们的象 4) 5) 的逆映射 为 的同构映射. 是的 子空间,且 6) 若W是V的子空间,则W在 下的象集 中分别取 即得 证: 1)在同构映射定义的条件iii) 2)这是同构映射定义中条件ii)与iii)结合的结果. 3)因为由 可得 反过来,由 可得 而 是一一对应,只有 所以可得 因此, 线性相关(线性无关) 线性相关(线性无关). 4)设 为V 中任意一组基. 由2)3)知, 为 的一组基. 所以 任取 I为恒等变换. 5)首先 是1-1对应,并且 同理,有 所以, 为 的同构映射. 由于 是同构映射,有 再由 是单射,有 6)首先, 其次,对 有W中的向量 使 于是有 由于W为子空间,所以 从而有 由2可知,同构映射保持零元、负元、线性组合 所以 是的 子空间. 显然, 也为W到 的同构映射,即 注 及线性相关性,并且同构映射把子空间映成子空间. 证:设 为线性空间的同构 3、两个同构映射的乘积还是同构映射. 任取 有 映射,则乘积 是 的1-1对应. 所以,乘积 是 的同构映射. 同构关系具有: 反身性: 对称性: 传递性: 注 4、数域P上的两个有限维线性空间 同构 证: 若 由性质2之4)即得 (法一)若 由性质1 ,有 设 分别为V1, V2的一组基. 定义 使 则 就是V1到V2的一个映射. (法二:构造同构映射) 又任取 设 从而, 所以 是单射. 若 即 则 任取 设 所以 是满射. 再由 的定义,有 易证,对 有 所以 是V1到V2的一个同构映射,故 则有 使
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