数值计算实习报告-牛顿插值法.doc

数值计算实习课程设计 姓名：张光宇 指导教师;谭高山 学号：119084169 目录 实验目的 问题的提出 牛顿插值法的原理 差商概念的引出 牛顿插值公式及其余项的公式 牛顿插值法计算步骤 牛顿插值多项式的程序实现 图像对照牛顿插值多项式 牛顿插值多项式总结 附1 附2 1、实验目的:通过对牛顿插值多项式的Matlab程序实现,深入了解牛顿插值多项式的原理及编程解决实际问题的能力. 2、问题的提出 我们知道Lagrange插值多项式的插值基函数为 理论分析中很方便，但是当插值节点增减时全部插值基函数就要随之变化，整个公式也将发生变化，这在实际计算中是很不方便的； Lagrange 插值虽然易算，但若要增加一个节点时，全部基函数 都需重新算过。 3、牛顿插值多项式的原理 我们知道两点直线公式有： 我们考虑点斜式，两点为((x0,y0)(x1,y1))，则直线方程为： 那么，在此基础上增加一个节点(x2,y2)，则过这三个点的插值多项式就是： c(x)应该是一个二次多项式。根据插值条件 有 根据插值条件： 可以求出： 重新写p2(x)： 有 ... 4、下面引入差商和差分的概念 定义： 1阶差商 2阶差商 n+1阶差商 可以证明差商具有如下性质: (2) k 阶差商关于节点是对称的，或者说均差与节点顺序无关，即 均差表 零阶均差 一阶均差 二阶均差 三阶均差 X0 f(X0) X1 f(X1) f[X0, X1] X2 f(X2) f[X1, X2] f[X0,X1, X2] X3 f(X3) f[X2, X3] f[X1, X2,X3] f[X0,X1, X2 X3] ... ... ... ... ... 5、下面给出牛顿插值公式及其余项的公式： .............(1) ............(2) … … … … .........(n+1) 则有： 其中 6、 牛顿插值法计算步骤： 牛顿插值法利用函数在某区间中若干点的函数值，作出牛顿插值多项式，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用牛顿插值多项式的值作为函数的近似值。 输入值及（；要计算的函数点。 对给定的由 计算的值。 3．输出。 7、Matlab程序实现 例：f(x)=lnx的数值如表所示， 构造牛顿插值多项式并求ln0.53的值。 X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144 解： 由表可知x0=0.4, x1=0.5, x2=0.6, x3=0.7, x4=0.7， 函数值：y0=-0.916291, y1=-0.693147, y2=-0.510826, y3=-0.357765, y4=-0.223144 在matlab中输入如下命令: clc clear newpoly([0.4,0.5,0.6,0.7,0.8],[ -0.916291, -0.693147, -0.510826, -0.357765, - 0.223144]) 计算结果如下： ans = -0.3096 2.6083 -5.4861 5.6921 -2.4744 由此看出所求的牛顿多项式为： P(x)= -0.3096x4+2.6083x3-5.4861x2+5.6921x-2.4744 P(0.53)= -0.6347。 图像对照牛顿插值多项式 9、小结： 本实验通过MATLAB编程实现求解牛顿K次插值多项式，能加深对牛顿插值法的基本思路和步骤的理解。同时也加深了对均差的概念及其性质的理解。牛顿插值法正是应用均差的性质，克服了拉格朗日插值法的主要缺点。 附1: matlab求解插值多项式，返回多项式的系数 function[c, d]=newpoly(x, y) %牛顿插值的MATLAB实现 %这里 x为n个节点的横坐标所组成的向量，y为纵坐标所组成的向量。 %c为所求的牛顿插值多项式的系数构成的向量。 n=length(x);%取x的个数。 d=zeros(n, n);%构造n*n的空数组。 d(: , 1)=y'; for j=2 : n for