11.第十一讲(数学期望).ppt

* * 第四章 随机变量的数字特征 分布函数能够完整地描述随机变量的统计特 性，但在一些实际问题中，只需知道随机变量的 某些特征，因而不需要求出它的分布函数. 评定某企业的经营能力时，只要知道该企业 人均赢利水平； 例如： 研究水稻品种优劣时，我们关心的是稻穗的 平均粒数及每粒的平均重量； 检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长 度，又要注意 纤维长度与平均长度的偏离程度， 平均长度越长、偏离程度越小，质量就越好; 第十一讲 随机变量的数学期望 例1 X ~ B ( n , p ), 求 E( X ) . 解 例2 X ~ P(?), 求 E ( X ) . 解 例3 设 X ~ 参数为 p 的几何分布，求E ( X ). 解 例4 某人的一串钥匙上有n把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把去开门. 若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数的数学期望. 解 设试开次数为X, P{X=k}= 1/n , k=1,2,…,n E(X) 于是 2、几个常见的离散型随机变量的数学期望 分布 期望 分布律 参数为p 的 0-1分布 p B(n,p) np P(?) ? 例5 X ~ N ( ? , ? 2 ), 求 E ( X ) . 例6 设 X ~ U(a,b)，求E ( X ). 解 解： 分布 期望 概率密度 区间(a,b)上的 均匀分布 E(?) N(?,? 2) 2、几个常见的连续型随机变量的数学期望 注意：不是所有的随机变量都有数学期望 例如：Cauchy分布的密度函数为 即它的数学期望不存在 例7 设二维连续随机变量(X,Y)的密度函数为 求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(X Y), E(Y / X) 解 性质 4 的逆命题不成立,即 注 反例 从而X,Y不是 相互独立 若E (X Y ) = E (X )E (Y )，X ,Y 不一定相互独立 但 市场上对某种产品每年的需求量为X吨 ， X ~ U [ 2000,4000 ], 每出售一吨可赚3万元 , 售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问 应该生产这中商品多少吨, 才能使平均利润 最大？ 解 设每年生产 y 吨的利润为 Y 显然，2000 < y < 4000 例8 显然， 故 y = 3500 时，E (Y )最大， E (Y )= 8250万元 五、数学期望性质的应用 例9 求二项分布的数学期望 若 X~B(n,p)， 则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数. 现在我们来求X的数学期望 .