84子空间与正交性-欢迎光临陇南师专.PDF

陇南师专数学系《高等代数》精品课程教案 第八章 欧氏空间 §8.4 子空间与正交性 §8.4 子空间与正交性 通过本节的学习，首先让学生掌握子空间的正交补的概念及性质，然后理解欧 教学目的 氏空间的同构的概念及两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件 教学难点 欧氏空间的同构的概念及两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件 教学重点 子空间的正交补的概念及性质 教 学 过 程 备 注 教学 设V 是欧氏空间, 当然V 是向量空间. 若W 是向量空间V 的子空间, 则 引入 W 对 V 的内积运算显然也作成 V 的一个欧氏子空间, 简称子空间. 教学 一 子空间的正交补 内容 1．子空间的正交补的定义 定义 1 设 W , W 是欧氏空间 V 的两个子空间, 如果对于任意的a ŒW , 1 2 1 b ŒW , 恒有 2 〈a, b 〉＝0. 那么称 W 与 W 正交, 记为 W ^W . 1 2 1 2 设a ŒV. 如果对任意的b ŒW , 恒有 1 〈a, b 〉＝0， 那么称a与子空间 W 正交, 记为a ^ W . 1 1 设a ŒV. 若a ^a ，则a ＝0. 因此，当 W ^W 时，W I W ＝{0}. 1 2 1 2 2．子空间的正交补的性质 定理 8.4.1 如果子空间 W , W , …, W 两两正交, 那么和 W ＋W ＋…＋ 1 2 s 1 2 W 是直和. s 证 设a ŒW , i ＝1, 2, …, s, 且 i i a ＋a ＋…＋a ＝0. 1 2 s 用a 与等式两边作内积, 利用正交性, 得 i 〈a , a 〉＝0.