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第四章 二次曲面和二次曲线 §1 坐标变换 §2 二次曲面和二次曲线方程的化简 §3 不变量 §4 中心,渐近方向 §5 二次曲面的直径面 、对称面,二次曲线的直径 、对称轴 §6 切线 ，切平面 §1 坐标变换 1.平面的坐标变换 2.空间的坐标变换 1.平面的坐标变换 平面上给了两个仿射坐标系 我们研究同一个点(向量)在 和 下的坐 标之间的关系.设 在 下的坐标为 在 下的坐标分别是 点M在 和 下 的坐标分别为 和 . 如图4.1,因为 所以 将(1.1)写成矩阵形式 或 (1.1)或(1.2)称为平面点的仿射坐标变换公式。 设向量 在 下的坐标为(u,v)，在 下的坐标 为 ，则 因此 将它写成矩阵形式 (1.3)或 称为平面向量的仿射坐标变换公式。 和 的坐标向量之间的关系为 形式上可写成 矩阵 称为从坐标系 到坐标系 的过渡矩阵 . 注: 和 为同定向的直角坐标系的充要条 件是A为正交矩阵且|A|=1，此时 ; 与 为反定向的直角坐标系的充要条件是A 为正交矩阵且|A|=－1，此时 A= 其中，0≤θ<2π。 设 和 均为右手直角坐标系 , 到 的转角(逆时针方向)为θ,则 若θ=0，则 （1.4）就是移轴公式。 若 与 重合，则 （1.5）就是转角为θ的转轴公式。 平面上的任一右手直角坐标变换都可以经 过移轴和转轴得到。 2.空间的坐标变换 设 是空间的两个仿 射坐标系，在 下， 的坐标为 (i=1,2,3）, 那么形式上有 其中矩阵A=( )称为从 到 的过渡矩阵，且是可逆的。 设点M在 和 下的坐标分别为 , O’在 下的坐标为 ，向量 在 和 下的坐标分 别为 那么使用平面的坐标变换公式 的推导方法可以得到 公式（1.6）称为从 和 的空间点的仿 射坐标 变换公式，公式(1.7)称为从 到 的空间向量的仿 射坐标变换公式。 如果 ， 都是直角坐标系，则可以证明A是正交矩 阵。进一步，如果 ， 是同定向的，那么|A|=1;如果 与 是反定向的，那么|A|=－1。 例1 在平面上，设 轴， 轴在原坐标系中的 方 程分别为 3x-4y+1=0, 4x+3y-7=0, 且新、旧坐标系都是右手直角坐标系。求 到 的点 的坐标变换公式；直线 :2x-y+3=0在新坐标系中的方 程；直线 : 在原坐标系中的方程。 解 设原坐标系为 新坐标系为 解方程