高等数学同济大学第六版 6-3答案资料.doc

习题6(3 1( 由实验知道( 弹簧在拉伸过程中( 需要的力F(单位( N)与伸长量s(单位( cm)成正比( 即F(ks (k为比例常数)( 如果把弹簧由原长拉伸6cm( 计算所作的功( 解 将弹簧一端固定于A( 另一端在自由长度时的点O为坐标原点( 建立坐标系( 功元素为dW(ksds( 所求功为 k(牛(厘米)( 2( 直径为20cm、高80cm的圆柱体内充满压强为10N/cm2的蒸汽( 设温度保持不变( 要使蒸汽体积缩小一半( 问需要作多少功？ 解 由玻(马定律知( ( 设蒸气在圆柱体内变化时底面积不变( 高度减小x厘米时压强 为P(x)牛/厘米2( 则 ( ( 功元素为( 所求功为 (J)( 3( (1)证明( 把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的功是 ( 其中g是地面上的重力加速度( R是地球的半径( (2)一颗人造地球卫星的质量为173kg( 在高于地面630km处进入轨道( 问把这颗卫星从地面送到630的高空处( 克服地球引力要作多少功？已知g(9(8m/s2( 地球半径R(6370km( 证明 (1)取地球中心为坐标原点( 把质量为m的物体升高的功元素为 ( 所求的功为 ( (2)(kJ)( 4( 一物体按规律作直线运动( 媒质的阻力与速度的平方成正比( 计算物体由x(0移至x(a时( 克服媒质阻力所作的功( 解 因为( 所以 ( 阻力( 而( 所以 ( 功元素dW((f(x)dx( 所求之功为 ( 5( 用铁锤将一铁钉击入木板( 设木板对铁钉的阻力与铁钉击入木板的深度成正比( 在击第一次时( 将铁钉击入木板1cm( 如果铁锤每次打击铁钉所做的功相等( 问锤击第二次时( 铁钉又击入多少？ 解 设锤击第二次时铁钉又击入hcm( 因木板对铁钉的阻力f与铁钉击入木板的深度x(cm)成正比( 即f(kx( 功元素dW(f dx(kxdx( 击第一次作功为 ( 击第二次作功为 ( 因为( 所以有 ( 解得(cm)( 6( 设一锥形贮水池( 深15m( 口径20m( 盛满水( 今以唧筒将水吸尽( 问要作多少功？ 解 在水深x处( 水平截面半径为( 功元素为 ( 所求功为 (1875(吨米)(57785.7(kJ)( 7( 有一闸门( 它的形状和尺寸如图( 水面超过门顶2m( 求闸门上所受的水压力( 解 建立x轴( 方向向下( 原点在水面( 水压力元素为 ( 闸门上所受的水压力为 (吨)=205( 8(kN)( 8( 洒水车上的水箱是一个横放的椭圆柱体( 尺寸如图所示( 当水箱装满水时( 计算水箱的一个端面所受的压力( 解 建立坐标系如图( 则椭圆的方程为 ( 压力元素为 ( 所求压力为 (吨)(17.3(kN)( (提示( 积分中所作的变换为) 9( 有一等腰梯形闸门( 它的两条底边各长10m和6m( 高为20m( 较长的底边与水面相齐( 计算闸门的一侧所受的水压力( 解 建立坐标系如图( 直线AB的方程为 ( 压力元素为 ( 所求压力为 (吨)(14388(千牛)( 10( 一底为8cm、高为6cm的等腰三角形片( 铅直地沉没在水中( 顶在上( 底在下且与水面平行( 而顶离水面3cm( 试求它每面所受的压力( 解 建立坐标系如图( 腰AC的方程为( 压力元素为 ( 所求压力为 (克)=1(65(牛)( 11( 设有一长度为l、线密度为(的均匀细直棒( 在与棒的一端垂直距离为a单位处有一质量为m的质点M( 试求这细棒对质点M的引力( 解 建立坐标系如图( 在细直棒上取一小段dy( 引力元素为 ( dF在x轴方向和y轴方向上的分力分别为 ( ( ( ( 12( 设有一半径为R、中心角为 j 的圆弧形细棒( 其线密度为常数 ( ( 在圆心处有一质量为m的质点F( 试求这细棒对质点M的引力(