2.3平面向量数量积.doc

平面向量数量积 一、考试要求 1、理解并掌握平面向量的数量积概念、运算律及数量积的几何意义。 2、掌握两平面向量垂直的充要条件，会用向量数量积的运算判断或证明向量的垂直。 3、会求两个向量的数量积、夹角、模等。 二、知识梳理 1.数量积的概念，已知两个非零向量a、b (1)向量的夹角 规定<a，b>∈ (2)数量积的定义 (3)数量积的几何定义 2.数量积的性质 若，都是非零向量，是单位向量，是与的夹角，是与的夹角，则 （1）________________=__________________ （2）==cos （3）=0_____________________ （其中） （4）当与同向时， =;当与反向时， =， 或________________ （5）cos==______________________ （6） 3.数量积的运算律： (1)交换律：a·b= (2)数乘结合律：(a·b)= = (3)分配律：(a·b)·c= 注意 ： ①数量积不适合乘法结合律，即（）与（）未必相等。 ②数量积的消去律不成立，即=，不一定得到= 4.数量积的坐标运算 设a=(x1，y1)，b=(x2，y2)则 (1)a·b= (2)= (3)cos<a，b>= (4) a∥b (5)a⊥b 三、基础练习 1、若=0, ,且则 A、 B、 C、 D、1 2、若b=(1,1)，a·b=2，(a-b)2=3，则=( ) A. B.5 C.1 D. 3、已知,是非零向量且满足，，则与的夹角是（ ） A、 B、 C、 D、 4、在边长为1的正三角形ABC中，，则a·b+b·c+c·a= 5、设均为非零向量，则下面结论： ① ; ② ; ③ ; ④ 正确的是_________ 6、已知平面向量，=(3,-4) , =(2,x) , =(2,y) 且 // , , 求 以及 和 的夹角 四、典型例题 1、已知 （1）求 与 的夹角 （2）求 和 （3）若作三角形ABC，求的面积。 2、已知a、b是非零向量，若a+b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，试求a与b的夹角。 3.已知a=()?，b=()且θ∈. (1)求的最值。 (2)是否存在k的值，使 五、自我测评 1、已知i和j为互相垂直的单位向量，a=i-2j，b=i+λj，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值 ( ) A.(-∞，-2)∪(-2，) B.(，+∞) C.(-2，)∪(，+∞) D.(-∞，) 2、 已知 =（1,2）, =(x,1) ,当时，实数x的值为（ ） A、6 B、-2 C、 D、-2， 3、已知 =(cos,sin) , =(cos,sin) ,下列结论正确的是（ ） A、 B、// C、 D、,的夹角为 4、已知 且 ，则向量在向量的方向上的正射影的数量为______ 5、已知 , 若是以O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量及的面积。 六、课后练习 1、已知向量 =(x-5,3) , =(2,x) 且 则由x的值构成的集合是（ ） A、 B、 C、 D、 2、已知 为非零的平面向量,甲∶ ; 乙∶ ；则（ ） A、甲是乙的充分但不必要条件 B、甲是乙的必要但不充分条件。 C、甲是乙的充要条件 D、既不充分也不必要条件。 3．（07重庆卷）已知向量且则向量等于 （A） （B） （C） （D） 4、（2006北京）若 且 ，则向量 与 的夹角为（ ） A、 B、 C、 D、 5、点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足 ，则点O是△ABC的（ ） A、三个内角的角平分线的交点 B、三条边的垂直平分线的交点 C、三条中线的交点 D、三条高的交点 6．（07年湖北卷）设，在上的投影为