第九章 第四讲 空间向量及其运算 B教材.docVIP

第9章 B 第4讲 时间：60分钟　满分：100分 一、选择题(8×5＝40分) 1．(2010·阜阳模拟)已知空间四边形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，那么下列等式正确的是(　　) A．2＝＋　　　 B.＝＋ C．2＋＝＋ D.＝－－ 分析：借助直观图验证答案． 解析：如图所示，取CD的中点E，连结ME，NE，则＝＋ ＝＋. 答案：B 2．已知A、B、C三点不共线，点O是平面ABC外一点，则在下列各条件中，能得到点M与A、B、C一定共面的条件为(　　) A.＝＋＋ B.＝－＋ C.＝＋＋ D.＝2－－ 解析：由共面向量定理的推论知、、的系数之和为1，选项B中＋(－)＋1＝1符合． 答案：B 3．如图所示，P为正六边形ABCDEF外一点，O为ABCDEF的中心，则＋＋＋＋＋等于(　　)A. B．3 C．6 D．0 解析：由题知＋＝2， ＋＝2，＋＝2， ∴＋＋＋＋＋＝6. 答案：C 4．已知四边形ABCD满足：·＞0，·＞0，·＞0，·＞0，则该四边形为(　　) A．平行四边形 B．梯形 C．平面四边形 D．空间四边形 解析：由已知条件得四边形的四个外角均为锐角，但在平面四边形中，任一四边形的外角和是360°，所以该四边形是一个空间四边形．故选D. 答案：D 5．已知空间四边形ABCD每边及对角线长均为，E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则·等于(　　) A. B．1 C. D. 解析：由于ABCD为正四面体，E、F、G为中点，因此△EFG为等腰直角三角形，所以·＝||·||·cos45°＝1××＝.故选A.答案：A 6．(2010·河北石家庄一模)如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则A1E与BD所成角的余弦值为(　　)A. B. C. D. 解析：分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则A1(1,0,2)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，D(0,0,0)， ∴＝(－1,2，－1)， ＝(－1，－2,0)． ∴|cos〈，〉|＝＝＝. 答案：B 7．(2009·湖北黄冈模拟)已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离是(　　) A. B. C. D. 解析：如图建立空间直角坐标系，则A1(2,0,4)，A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0,0,4)．设平面AB1D1的法向量为 n＝(x，y，z)，则 解得x＝2z且y＝－2z. 不妨设n＝(2，－2,1)， 设点A1到平面AB1D1的距离为h， 则h＝＝. 答案：C 8．对于空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，若＝x＋y＋z(其中x、y、z∈R)，则x＋y＋z＝1是四点P、A、B、C共面的(　　) A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：若四点P，A，B，C共面，根据共面定理知： ＝λ＋ω(λ，ω∈R)， ∴－＝λ(－)＋ω(－)， ＝(1－λ－ω)＋λ＋ω， 令x＝1－λ－ω，y＝λ，z＝ω， 即＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1. 反之，若x＋y＋z＝1，则x＝1－y－z，代入已知条件得 ＝(1－y－z)＋y＋z， 于是－＝y(－)＋z(－)， 即＝y＋z， 由共面向量定理知P、A、B、C四点共面． 答案：C 二、填空题(4×5＝20分) 9．(2009·陕西西安)如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝x＋2y＋3z，则x＋y＋z等于________．解析：由题意可知，平行六面体的所有面都是平行四边形， ∴＝＋，＝＋. 又∵＝－，∴＝＋－. 又∵＝x＋2y＋3z， 、、不共面， ∴存在唯一的x、2y、3z使之成立， 即x＝1,2y＝1,3z＝－1，得x＝1，y＝，z＝－， ∴x＋y＋z＝. 答案： 10．(2010·江苏南京调研)已知正四棱锥P－ABCD中，PA＝2，AB＝，M是侧棱PC的中点，则异面直线PA与BM所成角的大小为________． 解析：如图，连结AC、BD相交于点O，连结MO、MD，则MD＝MB，∴MO⊥BD.又点M、O分别为CP、CA的中点， ∴MO∥PA，MO＝PA＝1， ∴∠BMO就是异面直线PA与BM所成的角， 且tan∠BMO＝＝＝1，∴∠BMO＝. 即得异面直线PA与BM所成的角为. 答案： 11．在各棱长都等于1的正四面体OABC中，若点P满足＝x·＋y·＋z·(x＋y＋z＝1)，则||的最小值等于______． 解析：由于点P满足＝x·OA＋y·＋z·(x＋y＋z＝1)，所以点P与A，B，C共面，即P点在平面ABC内，所以||的最小值即